10.Найдите f′ (х) если, f(х) = (х3+3)(х2−2) A) 4х5−6х3+6 B) 5х4−6х2+6х C) 5х4−6х2+6 D) 4х5+6х3+6х E) 5х4+6х3+6
{Сложность}= С
11.Дана функция f(х)= х3− (2х−1)(2х+1).Найдите производную функции f (х)
A) х2 − 4х B) х2 + 4х2 C) 3х2 − 4х D) 3х2 − 8х E) 3х2 + 8х2
{Сложность}= С
12.Дана функция у(х)= (х2 +х+2)( х).Найдите у′ (х)
A) 3х2+2х+2 B) 3х2− 2х – 2 C) 2х2+3х+3
D) 2х2−2х−2E) 3х2+2х+2
{Сложность}= С

A  см - длина прямоугольника, b см - ширина
Прямоугольник можно разрезать на две равные части, из которых можно составить квадрат => тогда площадь квадрата будет 2a *  b/2 (или же 4a^2 или же (b^2/4) = 144 см^2
Составим систему
a*b=144
4a^2=144
Выразим a из 1 уравнения => a = 144/b
Подставим во 2 уравнение:
4(144/b)^2 = 1444 * 20736 / b^2 = 144b^2 = 4 * 20736 / 144
b^2 = 576
b1 = √576 = 24
b2 = -√576 = -24 => отрицательная ширина не подходит, значит
b = 24 см
Тогда a = 144 / b = 144 / 24 = 6 см
ответ: 6 см, 24 см

(c)

Раскроем скобки:

n(n² + 6n + 5) кратно шести.

6n² и так кратно шести, поэтому n³ + 5n кратно шести.

Пускай при делении n на 6 получим х плюс у в остаче, т. е. n/6 = x + y, тогда n можно записать как 6x + y, x ∈ Z, x ≥ 0, y ∈ {0;1;2;3;4;5}.

(6x + y)³ + 5*(6x + y) = (6x + y)((6x + y)² + 5) = (6x + y)(36x² + 12xy + y² + 5) = 216x³ + 72x²y + 6xy² + 30x + 36x²y + 12xy² + y³ + 5y = 216x³ + 108x²y + 18xy² + 30x + y³ + 5y.

Такие члены, как 216x³, 108x²y, 18xy², 30x делятся на 6, поэтому осталось доказать, что y³ + 5y = y(y² + 5) делится на 6.

Для этого просто рассмотрим все 6 случаев:

y = 0: 0 mod 6 = 0;
y = 1: 1 + 5 mod 6 = 0;
y = 2: 8 + 5*2 mod 6 = 0;
y = 3: 27 + 15 = 42 mod 6 = 0;
y = 4: 64 + 20 = 84 mod 6 = 0;
y = 5: 125 + 25 mod 6 = 0.