Алгебра 9 класс Из морского порта одновременно вышли 2 теплохода один из которых пошел на юг,а другойтна запад спустя 30 минут после отплытия расстояние между теплоходами было 15 км ,а ещё спустя 15 минут что один из теплоходов был от порта на 4,5 км дальше чем другой .Найдти скорость каждого теплохода​

Будем доказывать методом мат. индукции.

1) F(n) = 15^n + 13,
при n=1 получаем
15+13 = 28 кратно 7.
предположим, что выражение кратно 7 при любом натуральном k≤n, то есть, что
F(k) = 15^k + 13 = 7*A, где А - целое, k<=n,
тогда покажем, что это выражение F(k+1) также кратно 7.
F(k+1) = 15^(k+1) + 13 = 15*15^k + 13 = (14+1)*15^k + 13 = 14*(15^k) + 
+ 15^k + 13 = 14*(15^k) + 7*A = 7*(2*15^k  + A). 
По методу мат. индукции мы доказали, что F(n) кратно 7 при любом натуральном n.

2) F(n) = 9^n + 5^n -2,
F(1) = 9 + 5 - 2 = 14 - 2 = 12 = 4*3, кратно 4.
Предположим, что для любого натурального k<=n F(k) кратно 4, то есть
F(k) = 9^k +5^k - 2 = 4*B,
Покажем тогда, что F(k+1) кратно 4:
F(k+1) = 9^(k+1) + 5^(k+1) - 2 = 9*(9^k) + 5*(5^k) - 2 = (8+1)*(9^k) +
+ (4+1)*(5^k) - 2 = 8*(9^k) + 9^k + 4*(5^k) + 5^k -2 = 
= 8*(9^k) + 4*(5^k) + ( 9^k + 5^k - 2) = 8*(9^k) + 4*(5^k) + 4*B = 
 = 4*( 2*(9^k) + 5^k + B), последнее выражение в скобках очевидно целое, поэтому результат кратен 4.

3) F(n) = 5*(25^n) + 13*(13^(2n))
F(1) = 5*25 + 13*(13^2) = 125 + 13*169 = 125 + 2197 = 2322 = 9*258.
Предположим, что для любого k<=n F(k) кратно 9, то есть
F(k) = 5*(25^k) + 13*(13^(2k)) = 9*C,
тогда покажем, что F(k+1) кратно 9:
F(k+1) = 5*(25^(k+1)) + 13*( 13^(2*(k+1)) ) = 5*25*(25^k) + 13*(13^(2k+2)) = 
= 5*25*(25^k) + 13*(13^2)*(13^(2k)) = 5*(27-2)*(25^k) + 13*(169)*(13^(2k)) = 
= 5*27*(25^k) - 2*5*(25^k) + 13*(171-2)*(13^(2k)) = 
= 5*27*(25^k) - 2*5*(25^k) + 13*171*(13^(2k)) - 2*13*(13^(2k)) = 
= ( 5*27*(25^k) + 13*171*(13^(2k)) ) - 2*( 5*(25^k) + 13*(13^(2k)) ) = 
= 9*( 5*3*(25^k) + 13*19*(13^(2k)) ) - 2*(9*C) = 
= 9*( 5*3*(25^k) + 13*19*(13^(2k)) - 2*C ) и
F(k+1) кратно 9.

4) F(n) = 21^n + 4^(n+2)
F(1) = 21+ 4^3 = 21+64 = 85 = 17*5.
Предположим, что F(k) кратно 17 при любом натуральном k<=n, то есть
F(k) = 21^k  + 4^(k+2) = 17*Q, где Q -целое,
Покажем тогда, что F(k+1) тоже кратно 17:
F(k+1) = 21^(k+1) + 4^( (k+1)+2 ) = 21*(21^k) + 4^(k+2+1) = 
= (17+4)*(21^k) + 4*(4^(k+2)) = 17*(21^k) + 4*(21^k) + 4*(4^(k+2)) = 
= 17*(21^k) + 4*( 21^k  + 4^(k+2)) = 17*(21^k) + 4*17*Q = 
= 17*( (21^k) + 4*Q ),
если k и Q - целые, то выражение в последних скобках тоже целое, и F(k+1) кратно 17.

Пусть a - производительность первого компьютера, b - производительность второго. зная, что I комп проработал 2, а II 5 часов, они выполнили 1/2 работы, а после того как они проработали еще 3 часа, им осталось выполнить 1/20 работы, составим и решим систему уравнение

часов = производительность второго компьютера
=> одну работу второй компьютер выполнит за  часов
подставим значение b в одно из уравнений:

часов-1 = производительность второго компьютера
одну работу компьютер a выполнит за 12 часов. 
ответ: 12 часов, 15 часов