Пусть простых чисел 
всего M. Рассмотрим число 
. Оно не делится ни на одно из чисел , поэтому оно простое. Но по предположению все простые числа меньше этого числа, поэтому оно должно быть составным. Противоречие.
Обычно в доказательствах опускается вставка, что число не совпадает ни с одним из чисел . Несмотря на то, что это очевидно, мне кажется, что для строгости доказательства об этом забывать нельзя.
Предположим что это не так. То есть p1 p2 pm конечное чило простых чисел.
Выпишем все простые числа
p1 p2 p3 pm
Составим число a = p1+P2+p3+p4+p5 +pm+1
чило а имеет хотя бы один простой делитель т.е. число а делится на одно из чисел p1 p2 p3 pm НО 1 не делиться не делиться не на одно из этих чисел отсюда а не делиться не на одно из этих чисел
Получили противоречение. ПОэтому делаем вывод ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ БЕСКОНЕЧНО МНОГО
