Пример 7. Помещение освещено 12 лампами. Известно, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,35. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите наиболее вероятное число перегоревших за год ламп.

Для решения данной задачи, мы можем использовать биномиальное распределение и формулу Бернулли.

Биномиальное распределение применяется в случаях, когда мы проводим серию независимых испытаний (в данном случае - работы ламп) и каждое из них может иметь только два возможных исхода (перегореть или не перегореть), при этом вероятность успеха (p) и неудачи (q) остаются постоянными на протяжении всех испытаний.

В данном случае у нас есть 12 испытаний (работ ламп) и вероятность успеха (перегорания) каждой лампы равна 0,35. Соответственно, вероятность неудачи (не перегорания) каждой лампы будет равна 1 - 0,35 = 0,65.

Используя формулу Бернулли, мы можем найти вероятность того, что ровно k ламп перегорят за год:

P(k) = C(n, k) * p^k * q^(n - k),

где n - общее число испытаний (работ ламп), k - искомое число успехов (перегоревших ламп), p - вероятность успеха (перегорания лампы), q - вероятность неудачи (не перегорания лампы), а C(n, k) - число сочетаний из n по k.

Найдем вероятность перегорания ровно 0 ламп за год:

P(0) = C(12, 0) * (0,35)^0 * (0,65)^(12 - 0) = 1 * 1 * (0,65)^12 = 1 * 1 * 0,0687 ≈ 0,0687.

Теперь найдем вероятность перегорания ровно 1 лампы за год:

P(1) = C(12, 1) * (0,35)^1 * (0,65)^(12 - 1) = 12 * 0,35 * (0,65)^11 ≈ 0,2329.

Аналогично, найдем вероятность перегорания ровно 2 ламп за год:

P(2) = C(12, 2) * (0,35)^2 * (0,65)^(12 - 2) = 66 * 0,35^2 * (0,65)^10 ≈ 0,3248.

Продолжим аналогично для всех возможных чисел k от 0 до 12. Результаты занесем в таблицу:

k | P(k)
-----------
0 | 0,0687
1 | 0,2329
2 | 0,3248
3 | 0,2652
4 | 0,1503
5 | 0,0617
6 | 0,0195
7 | 0,0049
8 | 0,0009
9 | 0,0001
10 | 0,0000
11 | 0,0000
12 | 0,0000

Чтобы найти наиболее вероятное число перегоревших за год ламп, нужно найти максимальное значение вероятности P(k). В данном случае, наиболее вероятным числом перегоревших ламп будет 2, так как соответствующая вероятность P(2) = 0,3248 является максимальной.

Итак, наиболее вероятное число перегоревших за год ламп составляет 2.