Дан прямоугольник со сторонами 10 дм и 25 дм. Меньшая сторона увеличивается со скорость 2 дм/с, а большая уменьшается со скоростью 1 дм/с. Определите зависимость изменения площади (S) прямоугольника от времени t (с) и найдите при каком значении t площадь будет наибольшей.

y=x³ +x²-5x-3.

Найдём производную данной функции: y'=3x²+2х-5.

Найдём критические точки:   y'=0,  3x²+2х-5=0, Д=4+60=64,

х=(-2-8):6= -10/6 = -5/3;

х=(-2+8):6=6:6=1.

На интервале(-∞; -5/3)  y'>0, следовательно, функция возрастает.

На интервале(-5/3; 1)  y'<0, следовательно, функция убывает. 

На интервале(1; +∞)  y'>0, следовательно, функция возрастает. 

В точке х= -5/3 производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.

В точке х= 1 производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.

х=1 принадлежит [0; 4], следовательно, на этом отрезке в этой точке функция принимает наименьшее значение. Найдём его подстановкой у=1+1-5-3= -6.

 

 

 

 

Решение.
Находим первую производную функции:
y' = (x-4)² * (2*x-2)+(x-1)² * (2*x-8)
или
y' = 2(x-4)(x-1)(2*x-5)
Приравниваем ее к нулю:
2(x-4)(x-1)(2*x-5) = 0
x₁ = 1
x₂ = 5/2
x₃ = 4
Вычисляем значения функции 
f(1) = 0
f(5/2) = 81/16
f(4) = 0
ответ: fmin = 0; fmax = 81/16
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 2(x-4)²+2(x-1)²+2(2*x-8)(2*x-2)
или
y'' = 12*x ²- 60*x + 66
Вычисляем:
y''(1) = 18>0 - значит точка x = 1 точка минимума функции.
y''(4) = 18>0 - значит точка x = 4 точка минимума функции.