Докажите следующие уравнения методом математической индукции
а) 1+3+5+...+(2n-1)=n*2
b) 3+5+7+...+(2n+1)=n(n+2)​

2^(2x) +(a+1)*2^x+1/4=0
Замена: 2^x =t, t>0
t^2+(a+1)t+1/4=0 | *4
4t^2+(4a+4)t+1=0
Должны выполнить условие: D>0
D=(4a+4)^2-4*4*1= (4a+4)^2-16>0; (4a+4-4)(4a+4+4)>0
4a(4a+8)>0 |:4
a(a+2)>0
a e (- беск.; -2)U(0; + беск.)
Второй промежуток отпадает,т.к. не содержит наибольшего целого значения "a". Во втором промежутке этому условию соответствует
"-3".
Сделаем проверку:
t^2 +(-3+1)t+1/4=0
t^2-2t +1/4=0 |:4
4t^2-8t+1=0
D=(-8)^2-4*4*1=48
t1= (8-V48)/8 = примерно 0,14 >0
t2= (8+V48)/8= примерно 1,9 >0
Условия того, что t>0 выполнены, значит исходное уравнение будет иметь два корня.

 

сos(4arctgx)=1/2

4arctgx=±arccos(1/2)+2πn, n∈Z;

4arctgx=±π/3+2πn, n∈Z;

arctgx=±π/12+πn/2, n∈Z;

x=tg(±π/12+πn/2), n∈Z;

cos((±π/12+πn/2))≠0

Поскольку арктангенс - это угол из (-π/2;π/2), при n =0 получим два ответа х=tg(±π/12).

tg(π/12)=(tg(π/4-π/6))=(1 -√3/3)/ (1+√3/3)=

(3-√3)/(3+√3) =  (3-√3)²/(3²-(√3)² ) =(12-2√3)/(9-3)=2-√3/3

tg(-π/12)=-tg(π/12)=-(2-√3/3)=-2+√3/3

При n=1   х=tg(±π/12+π/2), указанному промежутку удовлетворяет tg(5π/12)=(tg(π/4+π/6))=(1 +√3/3)/ (1-√3/3)=

(3+√3)/(3-√3) =  (3+√3)²/(3²-(√3)² ) =(12+2√3)/(9-3)=2+√3/3                                                                

При n=-1   х=tg(±π/12-π/2), указанному промежутку удовлетворяет tg(-5π/12)=-tg5π/12=-(2+√3/3 )=-2-√3/3

При n=2   х=tg(±π/12+π); и при n=-2   х=tg(±π/12-π), Корней нет.  Остальные можно не проверять, они не войдут в промежуток

(-π/2;π/2).

ответ. х=±(2-√3/3); х=±(2+√3/3 )