1)Точка С — середина отрезка АВ. Найдите координаты второго конца отрезка АВ, если: А (0; 1), С (-1; 2) 2)Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (-1; -2), В (2; -5), С (1; -2), D (-2; 1) является параллелограммом. Найдите точку пересечения его диагоналей.

1) Чтобы найти координаты второго конца отрезка АВ, мы можем использовать симметрию. Так как точка С является серединой отрезка АВ, координаты середины можно найти, используя следующую формулу:

xс = (xа + xв) / 2,
yc = (ya + yв) / 2,

где xа, ya - координаты точки А, xв, yв - координаты точки В.

В нашем случае, точка А имеет координаты (0; 1), а точка С имеет координаты (-1; 2). Подставим эти значения в формулу:

xв = 2 * xс - xa,
yв = 2 * yc - ya.

xв = 2*(-1) - 0 = -2,
yв = 2*2 - 1 = 4 - 1 = 3.

Таким образом, второй конец отрезка АВ имеет координаты (-2; 3).

2) Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно проверить два условия:
- Противоположные стороны параллелограмма должны быть равны по длине.
- Противоположные стороны параллелограмма должны быть параллельны.

Для проверки длин сторон используем формулу расстояния между двумя точками:

AB = sqrt((xb - xa)^2 + (yb - ya)^2),

где xa, ya - координаты точки А, xb, yb - координаты точки В.

AB = sqrt((2 - (-1))^2 + (-5 - (-2))^2) = sqrt(3^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18).

BC = sqrt((xc - xb)^2 + (yc - yb)^2),

где xb, yb - координаты точки В, xc, yc - координаты точки С.

BC = sqrt((1 - 2)^2 + (-2 - (-5))^2) = sqrt((-1)^2 + 3^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10).

CD = sqrt((xd - xc)^2 + (yd - yc)^2),

где xc, yc - координаты точки С, xd, yd - координаты точки D.

CD = sqrt((-2 - 1)^2 + (1 - (-2))^2) = sqrt((-3)^2 + 3^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18).

AD = sqrt((xd - xa)^2 + (yd - ya)^2),

где xa, ya - координаты точки А, xd, yd - координаты точки D.

AD = sqrt((-2 - (-1))^2 + (1 - (-2))^2) = sqrt((-1)^2 + 3^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10).

Таким образом, AB = CD и BC = AD, что доказывает равенство длин противоположных сторон.

Теперь проверим параллельность сторон. Если векторы, задаваемые сторонами AB и CD, являются коллинеарными (или противоположно направленными), и если векторы, задаваемые сторонами BC и AD, также являются коллинеарными, то стороны параллельны.

Вектор AB = (2 - (-1), -5 - (-2)) = (3, -3),
вектор CD = (-2 - 1, 1 - (-2)) = (-3, 3).

Вектор BC = (1 - 2, -2 - (-5)) = (-1, 3),
вектор AD = (-2 - (-1), 1 - (-2)) = (-1, 3).

Оба вектора AB и CD, BC и AD являются коллинеарными, а значит, противоположные стороны параллелограмма параллельны.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Чтобы найти точку пересечения его диагоналей, нам необходимо найти середины диагоналей, а затем их координаты.

Для нахождения середины диагонали AC используем формулу:

xm = (xa + xc) / 2,
ym = (ya + yc) / 2,

где xa, ya - координаты точки А, xc, yc - координаты точки С.

xm = (-1 + 1) / 2 = 0 / 2 = 0,
ym = (-2 + (-2)) / 2 = -4 / 2 = -2.

Таким образом, середина диагонали AC имеет координаты (0, -2).

Аналогично, для нахождения середины диагонали BD, используем формулу:

xn = (xb + xd) / 2,
yn = (yb + yd) / 2,

где xb, yb - координаты точки В, xd, yd - координаты точки D.

xn = (2 + (-2)) / 2 = 0 / 2 = 0,
yn = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 = -2.

Таким образом, середина диагонали BD также имеет координаты (0, -2).

Точка пересечения диагоналей будет совпадать с серединой обоих диагоналей, то есть имеет координаты (0, -2).

Надеюсь, мой ответ помог вам понять решение задачи. Если у вас возникли дополнительные вопросы, обращайтесь.