task/29588553 Пользуясь формулой Муавра и Бином Ньютона , выразить через степени sinφ и cosφ следующие функции кратных углов :
1) sin 4φ ; 2) cos 5φ.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * z₁ =a₁ + i *b₁ ; z₂ =a₂ +i*b₂ . Если z₁ = z₂ , то a₁ = a₂ и b₁ = b₂ * * *
Формула Муавра: zⁿ = ( r(cosφ +i sinφ) )ⁿ = rⁿ*[cos(nφ) + i*sin(nφ)].
1 ) (cosφ +i sinφ)⁴ = cos4φ + i * sin4φ ( а₁ ) * * * r =1 * * *
С другой стороны по формуле бинома Ньютона :
(cosφ +i sinφ)⁴=cos⁴φ+4cos³φ*(isinφ)+6cos²φ*(isinφ)²+4cosφ*(isinφ)³+(i sinφ)⁴
= cos⁴φ - 6cos²φ*sin²φ +sin⁴φ + i*( 4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ) . ( б₁ )
Сравнивая (а₁) и (б₁) получаем :
sin4φ =4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ || = 4sinφcosφ* (cos²φ - sin²φ) =
2sin2φ *cos2φ =sin4φ ||
2) (cosφ +i sinφ)⁵ = cos5φ + i*sin5φ ( а₂ )
(cosφ +i sinφ)⁵ =cos⁵φ +5cos⁴φ*(isinφ)+10cos³φ*(isinφ)²+10cos²φ*(isinφ)³ +
+ 5cosφ*(isinφ)⁴+ (i sinφ)⁵ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ +
+i*(5cos⁴φ*isinφ - 10cos²φ*sin³φ + sin⁵ φ ). ( б₂ )
Сравнивая (а₂) и (б₂) получаем :
cos5φ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ .
x⁵+8x⁴+24x³+35x²+28x+12=0
Следствие из теоремы Безу гласит: "если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена".
Тогда корень данного уравнения находится среди делителей числа 12, то есть: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.
Подставляя значения в уравнения, получим, что x=-2 - корень уравнения.
Составим схему Горнера:
| 1 | 8 | 24 | 35 | 28 | 12 |
————————————
-2 | 1 | 6 | 12 | 11 | 6 | 0 |
Теперь можем разложить на множители исходное уравнение:
(x⁴+6x³+12x²+11x+6)(x+2)=0
Далее действия аналогичные:
Находим корень уравнения x⁴+6x³+12x²+11x+6=0 среди делителей его свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±6.
Подставляя значения в уравнение x⁴+6x³+12x²+11x+6=0, получим, что x=-2 - корень уравнения.
Составляем схему Горнера:
| 1 | 6 | 12 | 11 | 6 |
—————————
-2 | 1 | 4 | 4 | 3 | 0 |
Теперь получим такое уравнение:
(x³+4x²+4x+3)(x+2)²=0
Находим корень уравнения x³+4x²+4x+3=0 среди делителей его свободного члена: ±1; ±3.
Подставляя значения в уравнение x³+4x²+4x+3=0, получим, что x=-3 - корень уравнения.
Составляем схему Горнера:
| 1 | 4 | 4 | 3 |
———————
-2 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Получим такое уравнение:
(x²+x+1)(x+2)²(x+3)=0
x²+x+1=0 или (x+2)²=0 или x+3=0
∅ x=-2 x=-3
ответ: -3; -2.
