23.9. Найдите знак значения выражения: : 1) sin135 cos210°.tg405ctg330° cos560°;
2) sin425 · cos 250° - ctg420 . tg330° • sin 750°;​

Для решения этой задачи, нам потребуется немного геометрии и алгебры.

Пусть a и b - длины катетов треугольника.
Так как сумма катетов равна 30 см, то мы можем записать следующее уравнение: a + b = 30.

Для нахождения площади треугольника, мы можем использовать формулу: S = (1/2) * a * b.

Давайте выразим одну переменную через другую в нашем первом уравнении, чтобы получить уравнение, содержащее только одну переменную.

Мы можем выразить b через a следующим образом: b = 30 - a.

Теперь, подставив это выражение в формулу для площади, получим: S = (1/2) * a * (30 - a).

Для нахождения максимального значения площади, нам потребуется найти вершину параболы, заданной этим уравнением.

Давайте найдем точку вершины параболы. Для этого мы будем использовать формулу x = -b / (2a), где a = 1/2 и b = -1/2 * 30.

Выполним несколько вычислений:

b = -1/2 * 30 = -15.
x = -(-15) / (2 * (1/2)) = 15 / (2 * 1/2) = 15 / 1 = 15.

Таким образом, значение переменной a, при котором площадь треугольника будет наибольшей, равно 15 см.

Теперь мы можем найти значение b, подставив a = 15 в наше исходное уравнение: a + b = 30.

15 + b = 30.

Вычтем 15 из обеих сторон уравнения:

b = 30 - 15 = 15.

Таким образом, длины катетов этого треугольника, при которых площадь будет наибольшей, равны 15 см и 15 см. Катеты треугольника должны быть равны.

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и формулы.

Из данного условия, у нас есть следующие равенства:
cos(x+y) = a
cos(x-y) = b

Мы можем использовать формулу сложения и вычитания для косинуса, чтобы выразить sin(x) и sin(y).

cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) (формула сложения для косинуса)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) (формула вычитания для косинуса)

Разделив оба выражения на cos(x)cos(y), мы получим:

cos(x+y) / (cos(x)cos(y)) = a / (cos(x)cos(y))
(cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)) / (cos(x)cos(y)) = a / (cos(x)cos(y))

Упростим данное выражение:

1 - (sin(x)sin(y) / (cos(x)cos(y))) = a / (cos(x)cos(y))
1 - tan(x)tan(y) = a / (cos(x)cos(y))
tan(x)tan(y) = 1 - a / (cos(x)cos(y))

Аналогичным образом, мы можем упростить выражение для cos(x-y):

cos(x-y) / (cos(x)cos(y)) = b / (cos(x)cos(y))
(cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)) / (cos(x)cos(y)) = b / (cos(x)cos(y))

Упростим данное выражение:

1 + (sin(x)sin(y) / (cos(x)cos(y))) = b / (cos(x)cos(y))
1 + tan(x)tan(y) = b / (cos(x)cos(y))
tan(x)tan(y) = b / (cos(x)cos(y)) - 1

Теперь у нас есть два уравнения:
tan(x)tan(y) = 1 - a / (cos(x)cos(y)) и tan(x)tan(y) = b / (cos(x)cos(y)) - 1

Мы можем приравнять оба уравнения, так как они равны одной и той же величине:

1 - a / (cos(x)cos(y)) = b / (cos(x)cos(y)) - 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

1 - b / (cos(x)cos(y)) + a / (cos(x)cos(y)) = 0

1 - b + a = 0
a - b + 1 = 0

Таким образом, ответ на задачу будет a - b + 1 = 0. Проверим его:

Если мы подставим значения a и b, которые нам заданы в условии, в данное уравнение:
a = cos(x+y)
b = cos(x-y)

Тогда мы получим:
cos(x+y) - cos(x-y) + 1 = 0

Данное уравнение равно нулю, значит наше предположение a - b + 1 = 0 верно.

Таким образом, мы получили ответ на задачу.