Разложите на множители: 1) b3 – 8с3; 2) 49x2y – у3; 3) –7a2 + 14а – 7; 4) 5ab – 15b –5а + 15; 5) а4 – 1. Упростите выражение (3а + 1)(9a2 – За + 1) и найдите его значение при а = 1/3.
Разложите на множители: 1) а + b + a2 – b2; 2) 9a2 – 6аb + b2 – 16; 3) х3y2 – х3 – хy2 + х; 4) 1 – x2 + 4ху – 4y2.
Решите уравнение: 1) 2х3 – 50х = 0; 2) 16х3 + 8x2 + х = 0; 3) х3 + 2x2 – 36х – 72 = 0.
Докажите, что значение выражения 39 – 43 делится нацело на 23.
Известно, что а – b = 7, ab = –4. Найдите значение выражения (а + b)2.

Многочлен в левой части можно разложить на множители:

, где A, ..., F - некоторые целые коэффициенты. Раскроем скобки в правой части:

Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соотвествующих степенях x. Составим систему уравнений (знак системы не пишу):

AD=2

AE+BD=5

AF+EB+CD=-5

BF+EC=-13

CF=-4

6 неизвестных и всего 5 уравнений - не айс. Но нас то, что A, ..., F - целые числа.

Взглянем на первое и последнее уравнение. Имеем 4 различных варианта значений A, D, C, F. Начинаем рассматривать, по порядку, когда найдем хотя бы одно решение системы, то все будет круто и дальше можно будет не продолжать:

A=1, D=2, C=1, F=-4:

E+2B=5

EB=-3

-4B+E=-13

Не забываем о том, что коэффициенты целые и быстро заключаем, что решением являются числа B=3, E=-1. Вот так повезло, с первого раза нашли подходящую систему. Итак

A=1, B=3, C=1, D=2, E=-1, F=-4

Тогда

Уравнение принимает вид:

Дальше решит даже первоклассник

task/30199707   решить неравенства:

1.  5²ˣ - 2²ˣ - 5²ˣ⁻¹- 2²ˣ⁺² ≥ 0 ⇔ 5²ˣ⁻¹(5-1) -2²ˣ(1+2²) ≥  0 ⇔4*5²ˣ⁻¹ ≥ 5* 2²ˣ ⇔   2²*5²ˣ⁻¹ ≥   5*2²ˣ  || : 5*2² || ⇔ 5²ˣ⁻² ≥ 2²ˣ⁻² ⇔ (5/2)²ˣ⁻² ≥  1  ⇔

(5/2)²ˣ⁻²  ≥  (5/2)⁰ , т.к.  5/2 > 1 ,то ⇔ 2x -2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1      

ответ : x ∈ [ 1 ; +∞) .                                                                                                        

2. √7²ˣ⁺⁶-√49ˣ⁺²-2ˣ⁺⁵+2*2²⁺ˣ > 0 ⇔(√7²)ˣ⁺³-(√7²)ˣ⁺²-2ˣ⁺²⁺³ +2*2ˣ⁺² >0 ⇔

7ˣ⁺³ -7ˣ⁺²  - 2ˣ⁺²⁺³ +2*2ˣ⁺² >0  ⇔ 7ˣ⁺²(7 -1) -2ˣ⁺²(2³ -2) > 0 ⇔

6* 7ˣ⁺²> (8 -2)*2ˣ⁺³  || :6 || ⇔7ˣ⁺² >2ˣ⁺²⇔(7/2)ˣ⁺² > 1⇔(7/2)ˣ⁺² > (7/2)⁰ ⇔

x+2 > 0 ⇔ x > -2.                                                 ответ : x ∈ ( -2 ; +∞) .