Чертеж во вложении.
Пирамида МАБСД. МО=3 -высота, МВ=МА=МС=МД=3√5.
О₁ - центр вписанной сферы.
АВСД - квадрат, О-центр вписанной и описанной окружностей.
∆ВМО-прямоугольный. По теореме Пифагора
∆ВОA-прямоугольный, ОВ=ОА. По теореме Пифагора
Тогда ОР=1/2АВ=3√2.
В прямоугольном ∆МОР по теореме Пифагора
О₁ - центр вписанной сферы, является центром вписанной в ∆ТМР окружности. Для этой окружности и для сферы r=ОО₁.
Тогда О₁ - точка пересечения биссектрис ∆ТМР.
Рассмотрим прямоугольный ∆МОР. РО₁-биссектриса. МО₁=МО-ОО₁=3-r.
По свойству биссектрисы треугольника
Площадь сферы:
