1) Дана квадратичная функция у = -3х² + 6х + 3. Ветви вниз (а = -3).
Находим вершину хо = -в/2а = -6*(2*(-3)) = 1.
Тогда ответ:
функция возрастает на промежутке (-∞; 1), убывает- (1; ∞).
2) Экстремумы функции у = х³ - 2х² находим по производной, равной нулю: y' = 3х² - 4x = 0. x(3x - 4) = 0. Имеем 2 критических точки: х = 0 и х = 4/3 и 3 промежутка монотонности: (-∞; 0), (0; (4/3) и ((4/3); +∞).
Находим знак производной на каждом из промежутков.
х = -1 0 1 4/3 2
y' = 7 0 -1 0 4 .
Видим, что при прохождении через точку х = (4/3) производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через точку х = 0 – меняет знак с плюса на минус, соответственно это будет максимум.
4) Дана функция у = х³ - 6х², её производная равна y' = 3x² - 12x.
В точке х = 1 производная равна y'(1) = 3 - 12 = -9.
Функция в точке х = 1 равна х(1) = 1 - 6 = -5.
Уравнение касательной задается уравнением:
y = f ’(x0) • (x − x0) + f (x0) ,
где f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции. Подставим значения:
у = -9(х - 1) + (-5) = -9х + 9 - 5 = -9х + 4.
5) Дана функция у = х - х³. Её производная равна:
y' = -3x² + 1. Приравняем производную нулю: -3x² + 1 = 0.
х = +-√(1/3) ≈ +-0,57735.
Находим знак производной на каждом из промежутков.
x = -1 -√(1/3) 0 √(1/3) 1
y' = -2 0 1 0 -11
Максимум в точке х = √(1/3) равен 2/(3√3),
минимум в точке х = -√(1/3) равен -2/(3√3).
