К некоторому количеству рагу из свинины с овощами, содержащему 2 кг картофеля, добавили 3 кг картофеля, в результате чего процентное содержание свинины в рагу понизилось на 18%. Найдите первоначальную массу рагу.

Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая - концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом и точку В концом (см. рис.), обозначается символом  (то есть так же, как отрезок оси). Длина направленного отрезка  (при заданном масштабе) обозначается символом  (или АВ).

Проекцией отрезка  на ось u называется число, равное величине отрезка  оси u, где точка  является проекцией точки А на ось u, а точка - проекцией точки В на эту же ось.

Проекция отрезка  на ось u обозначается символом . Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозначается символом Х, его проекция на ось Оу - символом Y.

Если известны координаты точек (, ) и (, ), то проекции X и Y направленного отрезка  на координатные оси могут быть вычислены по формулам

, .

Таким образом, чтобы найти проекции направленого отрезка на координатные оси, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.

Угол , на который нужно повернуть положительную полуось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка , называется полярным углом отрезка .

Угол  понимается как в тригонометрии. Соответственно этому  имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину ида (где n - целое положительное число). Главным значением полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам .

Формулы

, 

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы

, , ,

которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на координатные оси.

Если на плоскости даны две точки (, ) и (, ),, то расстояние d между ними определяется формулой

.

Метод матем индукции
1) проверим делимость на 3 при n=1
при n=1 4n^3+6n^2+5n+9=4+6+5+9=24 - делится на 3
2) предположим что делится на 3 при n=k
при n=к 4n^3+6n^2+5n+9=4k^3+6k^2+5k+9=(3k^3+6k^2+3k+9)+(k^3+2k) - делится на 3
значит (k^3+2k) - делится на 3, так как (3k^3+6k^2+3k+9) делится на 3
3) проверим делимость на 3 при n=k+1
при n=к+1
4n^3+6n^2+5n+9=4(к+1)^3+6(к+1)^2+5(к+1)+9=
=(3(к+1)^3+6(к+1)^2+3(к+1)+9)+((к+1)^3+2(к+1)) = A+B
A=(3(к+1)^3+6(к+1)^2+3(к+1)+9) - делится на 3
B=(к+1)^3+2(к+1)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2=(k^3+2k)+(3k^2+3k+3) = C+D
C = (k^3+2k) - делится на 3 (см пункт 2) )
D = (3k^2+3k+3) - делится на 3
значит B=C+D - делится на 3
значит 4n^3+6n^2+5n+9 при n=k+1 делится на 3
так как n=k+1 4n^3+6n^2+5n+9 = A+B
<<< доказано методом математической индукции >>>>