В вишнёвом сиропе фирмы «Аграрий» содержится 50 % сахара, в малиновом сиропе фирмы «Мишка» — 40 %, фирма «Солнышко» производит сироп из клюквы с содержанием сахара 10 % и сироп из брусники с 65 % сахара. Какой процент сахара будет в морсе, если Татьяна любит вишню и клюкву и добавит в 80 мл смешанного в равных долях сиропа воду, чтобы приготовить в целом один литр напитка?

ответ: % сахара будет в морсе.​

Для начала заметим, что в первом уравнении системы обе части строго положительны, поскольку степень положительного числа - всегда число положительное, что мы и видим. Значит, я могу прологарифмировать обе части данного равенства.
Со вторым равенством поступим аналогично. Почему же здесь обе части положительны? Это происходит вследствие того, что x и y всегда положительны(поскольку иначе быть не может из-за того, что они входят под знаком логарифма в первом равенстве). Значит, основания степеней положительны, а потому, и степени положительны. Поэтому имеем право прологарифмировать обе части. Сделаем это. При этом будем использовать свойства логарифмов.


Напомню, что в процессе мы использовали то, что степень выражения под логарифмом я могу спустить и сделать его множителем.

Теперь введём замену переменных. Пусть lg (3x) = u, lg(5y) = v. Выразим сами логарифмы lg x и lg y через эти переменные. Для этого используем правило логарифма произведения:
lg(3x) = lg3 + lg x, откуда lg x = lg(3x) - lg3 = u - lg3
Аналогично,
lg(5y) = lg5 + lg y, откуда lg y = lg(5y) - lg 5 = v - lg5
Теперь подставляем это в нашу систему:


Теперь решаем эту систему. Она заметно проще предыдущей. Как решаем? Обычным путём выражения одной переменной через другую. Допустим, выразим u через v из второго уравнения и подставим в первое.


Далее производим подстановочку в первое уравнение, которое упрощаем обычными средствами:


Сразу находим, что и u = 0.
Далее возвращаемся к обычным переменным:
lg(3x) = 0, откуда и
lg(5y) = 0, откуда

Таким образом, решением системы является пара

1) Упорядочим ряд оценок по возрастанию
3, 3, 4, 4, 5.
Размах ряда - это разность между наибольшим и наименьшим значением:
размах = 5 -3 = 2
Медиана упорядоченного ряда - это число, которое стоит посередине.
медиана = 4 
4 - 2 = 2
ответ: на 2.

2) Пусть смешали x кг 10 %-ного раствора соли и y кг 25 %-ного раствора соли. По условию задачи получили 30 кг 20 %-ного раствора. Получим систему уравнений:

0,1x + 0,25y = 0,2(x + y)
x + y = 30

0,1x + 0,1y + 0,15y = 0,2·30
x + y = 30

0,1(x + y) + 0,15y = 6
x + y = 30

0,1·30 + 0,15y = 6
x + y = 30

3 + 0,15y = 6
x + y = 30

0,15y = 3
x + y = 30 

y = 20
x = 10 
Значит, было 10 кг первого раствора.
ответ: 10 кг.

3) y = b
x² + y² = 9

Второе уравнение представляет собой уравнение окружности. 
Чтобы данная система имела одно решение, необходимо, чтобы прямая y = b касалась окружности.
Т.к. уравнение окружности имеет вид (x - a)² + (y - b)² = r², то координаты центра равны (0; 0), а r = 3.
Прямая y = b параллельна оси Ox, значит, касаться она будет в двух точках - (0; -3) и (0; 3). Значит, b = -3 и 3.
ответ: при b = -3 и 3.