Соч по алгебре за 8 класс за 3 четверть

Первое предположение - ответом будет число, в котором сумма цифр большая (если сумма цифр равна d, то остатки принимают значение 0, 1, 2, ..., d - 1. Если d невелико, то и остаток большим не будет).

Максимальная сумма цифр двузначного числа равна 9 + 9 = 18, достигается для числа 99. Проверяем: 99 mod (9 + 9) = 99 mod 18 = 9. Маловато.

Попробуем чуть меньше сумму, 17 (соответствует двум числам: 89 и 98).
89 mod (8 + 9) = 4
98 mod (9 + 8) = 13 - уже больше.

Как понять, есть ли остатки больше 13? Остаток 14 и более может получиться, если сумма цифр - не меньше 15. Смотрим дальше:
- сумма цифр 16, числа 79, 88, 97
79 mod 16 = 15 (!)
88 mod 16 = 8
97 mod 16 = 1

Дальше проверять бесполезно: остаток, больший, чем 15, уже не получить. 
ответ. 15.

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить
дифференцированием.
а) ∫(3x^2+4/x+cosx+1)dx=x³+4·ln IxI+sinx +x +C 
проверка:
(x³+4·ln IxI+sinx +x +C)'=3x²+4/x +cosx+1  -  верно

б) ∫[4x/√(x^2+4)]dx=    [ (x^2+4)=t     dt=2xdx ]   =∫2dt/√t=4√t+c=4√(x^2+4)+c
проверка:
(4√(x^2+4)+c)'=[4(1/2)/√(x^2+4)]·2·x =4x/√(x^2+4)  -  верно

в) ∫-2xe^xdx  =-2 ∫xe^xdx= [ x=u         e^xdx=dv  ]
                                           [ dx=du       e^x=v      ]

-2 ∫xe^xdx=-2( u·v- ∫vdu)=-2(x·e^x-∫e^x·dx)=-2(x· e^x-e^x)+c=-2·(e^x)·(x-1)+c
проверка:
(-2·(e^x)·(x-1)+c)'=-2((e^x)'·(x-1)+(e^x)·(x-1)')=-2((e^x)·(x-1)+(e^x))=-2(e^x)·x
=-2x·(e^x) - верно