1.
a)
x² + 4x + 10 ≥ 0
Рассмотрим функцию у = x² + 4x + 10.
Функция квадратичная, график - парабола, ветви направлены вверх.
Нули функции:
x² + 4x + 10 = 0
D = 16 - 40 = - 24 < 0
нулей нет, значит график не пересекает ось Ох.
Схематически график изображен на рис. 1.
у > 0 при x ∈ (- ∞; + ∞)
ответ: 2) Решением неравенства является вся числовая прямая.
b)
- x² + 10x - 25 > 0 | · (- 1)
x² - 10x + 25 < 0
Рассмотрим функцию у = x² - 10x + 25.
Функция квадратичная, график - парабола, ветви направлены вверх.
Нули функции:
x² - 10x + 25 = 0
(x - 5)² = 0
x = 5
Схематически график изображен на рис. 2.
у < 0 при x ∈ {∅}
ответ: 1) Неравенство не имеет решений.
c)
x² + 3x + 2 ≤ 0
Рассмотрим функцию у = x² + 3x + 2.
Функция квадратичная, график - парабола, ветви направлены вверх.
Нули функции:
x² + 3x + 2 = 0
D = 9 - 8 = 1
Схематически график изображен на рис. 3.
у ≤ 0 при x ∈ [- 2; - 1]
ответ: 4) Решением неравенства является закрытый промежуток.
d)
- x² + 4 < 0 | · (- 1)
x² - 4 > 0
Рассмотрим функцию у = x² - 4.
Функция квадратичная, график - парабола, ветви направлены вверх.
Нули функции:
x² - 4 = 0
x² = 4
x = ± 2
Схематически график изображен на рис. 4.
у > 0 при x ∈ (- ∞; - 2) ∪ (2; + ∞)
ответ: 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.
___________________________
2.
(x - a)(2x - 1)(x + b) > 0
x ∈(- 4; 1/2) ∪ (5; + ∞)
Решение неравенства показано на рис. 5.
Найдем нули функции у = (x - a)(2x - 1)(x + b).
(x - a)(2x - 1)(x + b) = 0
(x - a) = 0 или (2x - 1) = 0 или (x + b) = 0
x = a x = 1/2 x = - b
Из решения неравенства следует, что нулями являются числа - 4, 1/2 и 5. Значит
или 
или 
ответ: a = - 4, b = - 5 или a = 5, b = 4.
60 км/час; 40 км/час.
Объяснение:
х км/час - скорость 1-го автомобиля.
у км/час - скорость 2-го автомобиля.
240/y часов - время пути 1-го автомобиля до встречи,
240/x часов - время пути 2-го автомобиля до встречи.
В задаче сказано, что один выехал на 2 часа раньше второго. Отсюда первое равенство:
24/y - 240/x = 2.
(х+у) - скорость сближения автомобилей.
480/(х+у) часов - время пути автомобилей до встречи при их одновременном выезде.
4 часа 48 минут = 4 48/60 = 4 4/5 часа.
Отсюда второе равенство:
480/(х+у) = 4 4/5 .
Осталось решить систему:
{240/y-240/x=2; 240x-240y=2xy; 120(x-y)=xy;
{480/(x+y)=4 4/5; 480/(x+y)=24/5; 480*5 = 24(x+y);
x+y = 480*5/24; x+y=100; y=100-x - это значение подставим в первое равенство:
120(x-100+x) = x(100-x); 240x-12000=100x-x^2; x^2+140x-12000=0; x=60 км/час; отрицательное значение не подходит по смыслу.
у=100-х=40 км/час.
ответ: 60 км/час; 40 км/час.
