120, 135, 180, 210, 240, 315, 345, 360, 390, 420,
435, 480, 630, 675, 765, 795, 810, 840, 930, 975.
Объяснение:
Задание:
Найди трёхзначное число, кратное 15, сумма квадратов цифр которого делится нацело на 5, и все цифры которого различны.
Трехзначное число можно записать так: 100a + 10b + c.
Если оно кратно 15, то оно делится на 3 и на 5.
Это значит, что его сумма цифр делится на 3 и с = 0 или c = 5.
Кроме того, сумма квадратов цифр должна делиться на 5.
И все цифры числа должны быть различны.
Запишем систему, всего возможно два варианта:
1) c = 0 и 2) c = 5
{ a + b + c = 3n
{ a^2 + b^2 + c^2 = 5k
Напишем таблицу квадратов однозначных чисел:
0 - 0, 1 - 1, 2 - 4, 3 - 9, 4 - 16, 5 - 25, 6 - 36, 7 - 49, 8 - 64, 9 - 81.
Если сумма квадратов кратна 5, то могут быть такие варианты:
1^2 + 2^2 + 0^2 = 5 - это числа 120 и 210, кратны 15. ЭТО РЕШЕНИЯ.
1^2 + 2^2 + 5^2 = 30 - это числа 125 и 215, но они не кратны 15.
1^2 + 3^2 + 0^2 = 10 - это числа 130 и 310, они не кратны 15.
1^2 + 3^2 + 5^2 = 35 - это числа 135 и 315. ЭТО РЕШЕНИЯ.
1^2 + 8^2 + 0^2 = 65 - это числа 180 и 810. ЭТО РЕШЕНИЯ.
1^2 + 8^2 + 5^2 = 90 - это числа 185 и 815, они не кратны 15.
2^2 + 4^2 + 0^2 = 20 - это числа 240 и 420. ЭТО РЕШЕНИЯ.
2^2 + 4^2 + 5^2 = 45 - это числа 245 и 425, они не кратны 15.
2^2 + 6^2 + 0^2 = 40 - это числа 260 и 620, они не кратны 15.
2^2 + 6^2 + 5^2 = 65 - это числа 265 и 625, они не кратны 15.
3^2 + 4^2 + 0^2 = 25 - это числа 340 и 430, они не кратны 15.
3^2 + 4^2 + 5^2 = 50 - это числа 345 и 435. ЭТО РЕШЕНИЯ.
3^2 + 6^2 + 0^2 = 40 - это числа 360 и 630. ЭТО РЕШЕНИЯ.
3^2 + 6^2 + 5^2 = 65 - это числа 365 и 635, они не кратны 15.
3^2 + 9^2 + 0^2 = 90 - это числа 390 и 930. ЭТО РЕШЕНИЯ.
3^2 + 9^2 + 5^2 = 115 - это числа 395 и 935, они не кратны 15.
4^2 + 8^2 + 0^2 = 80 - это числа 480 и 840. ЭТО РЕШЕНИЯ.
4^2 + 8^2 + 5^2 = 105 - это числа 845 и 845, они не кратны 15.
6^2 + 7^2 + 0^2 = 85 - это числа 670 и 760, они не кратны 15.
6^2 + 7^2 + 5^2 = 110 - это числа 675 и 765. ЭТО РЕШЕНИЯ.
6^2 + 8^2 + 0^2 = 100 - это числа 680 и 860, они не кратны 15.
6^2 + 8^2 + 5^2 = 125 - это числа 685 и 865, они не кратны 15.
7^2 + 9^2 + 0^2 = 130 - это числа 790 и 970, они не кратны 15.
7^2 + 9^2 + 5^2 = 155 - это числа 795 и 975. ЭТО РЕШЕНИЯ.
8^2 + 9^2 + 0^2 = 145 - это числа 890 и 980, они не кратны 15.
8^2 + 9^2 + 5^2 = 170 - это числа 895 и 985, они не кратны 15.
Больше таких чисел нет.
а⁴ + b⁴ ≥ а³b + аb³
1)
а⁴ + b⁴ - а³b - аb³ ≥ 0
а³(а-b) - b³(а-b) ≥ 0
(а-b)(а³-b³) ≥0
(а-b)(а-b)(а²+аb+b²) ≥0
(а-b)²·(а²+аb+b²) ≥0
2)
Первая скобка всегда больше или равна 0, остаётся доказать, что вторая скобка тоже всегда больше или равна 0.
а²+аb+b² ≥0
a) Докажем для неотрицательных a и b.
(a²+ab+ab+b²)-ab ≥ 0
(a² + 2ab + b²) ≥ ab
(a+b)² ≥ ab
а+b ≥ √аb
Это неравенство справедливо как следствие из теоремы Коши для среднего арифметического и среднего геометрического:
(а+b)/2 ≥ √аb
Таким образом, всегда справедливо неравенство во второй скобке
(a²+ab+b²) ≥ 0.
2) Докажем справедливость неравенства (a²+ab+b²) > 0 для отрицательных значений a и b.
a<0; b<0
a²>0; b²>0 - первое и третье слагаемые a² и b² всегда положительны
ab>0, как произведение двух отрицательных(минус × минус = плюс)
Сумма положительных слагаемых тоже положительна:
(a²+ab+b²) > 0
3) Докажем справедливость неравенства (a²+ab+b²) > 0 для значений a и b, различных по знаку: a>0; b<0.
(a²+ab+ab+b²)-ab > 0
(a² + 2ab + b²) > ab
(a+b)² > ab
Это неравенство справедливо, т.к.
(a+b)² ≥ 0
ab < 0 (плюс × минус = минус)
Положительное число больше отрицательного.
Таким образом все три варианта доказывают справедливость неравенства
(а²+ab+b²)≥0. Что и требовалось доказать.
