Докажите что значение выражения 8n^6+11n^4-n^2 при любом целом n делится на 9​

Чтобы делилось на 36, достаточно доказать делимость на 4 и 9.

Если делать совсем по-школьному, то можно так.

Преобразуем исходное выражение:

2n⁶-n⁴-n²=n²(2n⁴-n²-1)=n²(n²-1)(2n²+1)=n²(n-1)(n+1)(3n²-(n²-1))=

=(n-1)n(n+1)(3n³-(n-1)n(n+1)).

Для начала нам нужно доказать, что выражение 8n^6+11n^4-n^2 делится на 9 при любом целом значении n.

Чтобы это сделать, давайте разберемся с тем, какое значение должно быть у n, чтобы это выражение стало кратным 9.

Деление на 9 означает, что у нас должна быть 9 в качестве множителя в этом выражении. Поэтому будем искать значения n, при котором выражение будет вида 9k, где k - любое целое число.

Итак, разложим каждое слагаемое по формуле (a+b)^2:

8n^6 = (3n^2)^2 + (3n^4)^2 + 2*(3n^2)*(3n^4)
11n^4 = (3n^2)^2 + 2*3n^2*3n^4 + (3n^4)^2
-n^2 = -n^2

Теперь соберем все это вместе:

8n^6+11n^4-n^2 = (3n^2)^2 + (3n^4)^2 + 2*(3n^2)*(3n^4) + (3n^2)^2 + 2*3n^2*3n^4 + (3n^4)^2 - n^2

Объединим сумму квадратов и прибавим по 9n^2 для приведения подобных слагаемых:

= (3n^2)^2 + (3n^4)^2 + 2*(3n^2)*(3n^4) + (3n^2)^2 + 2*3n^2*3n^4 + (3n^4)^2 - n^2 + 9n^2
= 2*(3n^2)^2 + 2*(3n^4)^2 + 2*(3n^2)*(3n^4) + 8n^2

Теперь приведем подобные слагаемые:

= 2*(9n^2)^2 + 2*(9n^4)^2 + 2*(9n^2)*(3n^4) + 8n^2
= 18n^4 + 162n^6 + 54n^6 + 8n^2
= 18n^4 + 216n^6 + 8n^2

Теперь давайте проверим, делится ли это выражение на 9:

(18n^4 + 216n^6 + 8n^2) / 9

Мы можем разделить каждое слагаемое на 9:

18n^4 / 9 + 216n^6 / 9 + 8n^2 / 9

Получается:

2n^4 + 24n^6 + 8n^2 / 9

Видим, что выражение делится нацело на 9, так как каждый из его слагаемых делится на 9.

Таким образом, мы доказали, что выражение 8n^6+11n^4-n^2 делится на 9 при любом целом значении n.