Учень підготував 7 з 10 питань програми. Знайти ймовірність того, що з 3 питань в екзаменаційному білеті учень буде знати відповідь тільки на 1 питання.

Функция линейная, если наивысшая степень при переменной равна 1, то есть представима в виде u = a*t + b
Поэтому, если нам удастся представить нашу функцию в таком виде, значит нам удастся доказать линейность предложенной функции.
Разложим числитель и знаменатель предложенной функции на элементарные множители
t^4 - 8*t^2 + 16 = (t^2 - 4)^2 = (t-2)*(t-2)*(t+2)*(t+2)
(t+2)*(t^2-4) = (t+2)*(t+2)*(t-2)
Таким образом, наша функция имеет вид
u=(t-2)*(t-2)*(t+2)*(t+2)/(t+2)*(t+2)*(t-2).
А вот теперь ЕСЛИ сомножитель в знаменателе ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ, на него можно сократить, после сокращения получим
u=t-2
то есть в самом деле функция линейная, при этом а=1, b=-2.
ОДНАКО, она линейная ТОЛЬКО если действительно наше предположение, то есть при условии t#+-2(при этих значениях некоторые сомножители знаменателя обращаются в 0, а на 0 делить нельзя!).
Таким образом ответ
u=t-2 , область определения t#+-2

Гораздо интереснее ответить на вопрос А что же с функцией происходит в этих особых точках? В нашем случае всё замечательно, значения исходной функции в этих точках НЕ СУЩЕСТВУЕТ, ОДНАКО пределы как слева, так и справа существуют и равны друг другу. То есть функция практически непрерывная и гладкая, такие функции можно ДОПОЛНИТЬ двумя точками(значения пределов) и функция становится совсем линейной.
в нашем случае можно ДОПОЛНИТЬ таким образом
u(-2)=-4
u(2)= 0
но это уже совсем другая история и к решению нашей исходной задачи, вообще говоря, не имеет никакого отношения.

1) -0,5x^4=x-4
  Можно сделать графически.
  Левая часть:  y = -0,5x⁴     
  График - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.
  Правая часть: y = x - 4
  График - прямая линия, не параллельная осям координат. Пересекает параболу в двух точках.
  ответ:  уравнение имеет 2 действительных корня.

2)  y=(x-2)^2+4 на отрезке [0;3]
  Квадратичная функция, ветви направлены вверх. Наименьшим значением будет вершина параболы.
Координаты вершины параболы:    х=2 (из уравнения функции), у = 4.

Подставить границы интервала в уравнение функции и выбрать наибольшее:
y = (x - 2)² + 4 = (0 - 2)² + 4 = 8
y = (x - 2)² + 4 = (3 - 2)² + 4 = 5

Наибольшее значение функции на отрезке [0; 3]    y = 8 в точке x = 3.
Наименьшее значение функции на отрезке [0; 3]    y = 4 в точке  x = 2.