Хепл ми . кто шарит в алгебре?:)​

Докажем вначале важное утверждение которым и воспользуемся.

Утверждение:

Пусть А - непустое и не конечное множество, так что . Предположим что существует так что . Если существует последовательность элементов из А выполняющая то .

Доказательство:

Допустим от противного, что , тогда существует так что .

Из-за того что , обязательно выполняется что противоречит тому что .

Следовательно .

Существует эквивалентное утверждение связанное с инфимумом, но доказывать его не буду (оно аналогично доказательству, но с некоторыми изменениями).

Теперь решим саму задачу:

Заметим что данное множество состоит из элементов последовательности , а также тот факт что для всех :

Т.е.:

Рассмотрим две подпоследовательности -

Так как:

Получаем:

Так как О.Д.З. здесь трудно найти, но можно, решим уравнение равносильным переходом: х - 1 ≥ 0 ; х ≥ 1

√( х + 2√( х - 1 ) ) = √( х - 1 + 2√( х - 1 ) + 1 ) = √ ( (√( х - 1 ) )² + 2√( х - 1 ) + 1 ) = √( ( √( х - 1 ) + 1 )² ) = | √( х - 1 ) + 1 | = √( х - 1 ) + 1

√( х - 1 ) + 1 + | √( х - 1 ) - 1 | = 2

| √( х - 1 ) - 1 | = 1 - √( х - 1 )
__________________
По определению модуля:

| х | = х , если х ≥ 0
| х | = - х , если х ≤ 0
_________________

√( х - 1 ) - 1 ≤ 0

√( х - 1 ) ≤ 1

х - 1 ≤ 1

х ≤ 2

С учетом, что х ≤ 1

х € [ 1 ; 2 ]

Использовали формулу:

( а ± b )² = a² ± 2ab + b² - квадрат разности / суммы

√ а² = | а |

ОТВЕТ: [ 1 ; 2 ]