5.143. Представьте в виде произведения:
1) х⁸+х⁴+1
3) х⁴+х²у²+у⁴
2) а³-3а+2
4) x³+3х²-4​

1) a^2b-2b+ab^2-2a=ab(a-b)-2(a-b)=(a-b)(ab-2)
2)x-y-3x^2+3y^2=(x-y)-3(x^2-y^2)=(x-y)-3(x-y)(x+y)=(x-y)(1-3x-3y)
3) a-3b+9b^2-a^2=(a-3b)+(3b-a)(3b+a)= -(a-3b)(1+3b+a)
4)x^2 y-x^2-xy+x^3=x^2(y+x)-x(x+y)=(x+y)(x^2-x)
5)a^2-9b^2+18bc-9c^2=a^2-(9b^2-18bc+9c^2)=a^2-(3b-3c)^2=(a-3b+3c)(a+3b-3c).
6)3a²+12b²+12ab-12=3(a²+4ab+4b²)-12=3(a+2b)²-12=3((a+2b)²-4)=3(a+2b-2) (a+2b+2)
7)x^3 y²-xy-x^3+x=xy(x-1)-x(x²-1)=xy(x-1)-x(x-1)(x+1)=(x-1)(xy-x²-x)
8)a² b-ab²-ac+ab+bc-c=ab(a-b+1)-c(a-b+1)=(a-b+1)(ab-c)
9)by²+4by-cy²-4cy-4c+4b=b(y²+4y+4)-c(y²+4y+4)=(y+2)²(b-c)

Докажите тождество:
4a^2 b^2(a^2+b^2)-(a^2+b^2)^3=(b^2-a^2)(a^4-b^4)
4a^2 b^2(a^2+b^2)-(a^2+b^2)^3=4a^4b^2+4a^2b^4-a^2-3a^4b^2-3a^2b^4-b^6=
=a^4b^2+a^2b^4-a^6-b^6=^2(a^4-b^4)-a^2(a^4-b^4)=(b^2-a^2)(a^4-b^4) ч.т.д.

Если переписать уравнение в виде: 3x^2+3x+1=-28x^3, то парабола слева имеет вершину в точке (-0,5)  и пересекает ось оу в точке х=0; у=1. Кубическая парабола у=-28х^3 расположена во второй и четвертой четвертях.
Поэтому может пересекается с первой параболой только при х от -0,5 до 0.
Значит корни многочлена могут быть расположены только на (-0,5; 0)
Так как делители 28: 2;-2;3;-3;4;-4;7;-7
Корнями могут быть  отрицательные числа -1/2; -1/4; -1/3;  -1/7       (*)
Если а-корень уравнения f(x)=0, то f(a)=0
Проверяем все числа  (*)

28·(-1/2)³+3·(-1/2)²+3·(-1/2)+1=(-28/8)+(3/4)-(3/2)+1≠0
х=-1/2 не является корнем уравнения

28·(-1/4)³+3·(-1/4)²+3·(-1/4)+1=(-28/64)+(3/16)-(3/4)+1=-(7/16)+(3/16)+(1/4)=(-4/16)+(1/4)=0
значит х=-1/4 - корень уравнения.
Делим многочлен

28x³+3x²+3x+1   на (4х+1)  " углом"

_28х³ + 3х² + 3х + 1  | 4x+1
 28x³ + 7x²                  7x²-x+1
         _-4x²  +  3x  +1
           -4x²  -  x
                    _4x  +1
                      4x  +1 
                          0        
Уравнение примет вид

(4х+1)(7х²-х+1)=0
4х+1=0     7х²-х+1=0
х=-1/4        D=1-28<0
                  корней нет

ответ. х=-1/4

РS.
Можно " догадаться " и разложить на множители прибавляя и вычитая слагаемые:
28х³+7х²-4х²+4х -х+1=0     
7х²(4х+1)-х(4х+1)+(4х+1)=0
(4х+1)(7х²-х+1)=0