a){y+2x=-5
{x^2+y^2=25
{y=-5-2x
{x^2+(-5-2x)^2=25
x^2+4x^2+10x+25=25
5x^2+10x=0
5(x^2+2x)=0
x^2+2x=0
x(x+2)=0
x=0
x+2=0
x=-2
y=-5-2*-2=-9
y=-5-2*0=-5
ответ (0 -2) (-9 -5)
б)
{y=x^2+6x+7
{y-2x=4
y=4+2x
y=x^2+6x+7
4+2x=x^2+6x+7
x^2+4x+3=0
D=16-4*1*3=V4=2
x=-4+2/2=-1
x2=-6/2=-3
y=4+2*-1=-2
y2=4+2*-3=-2
ответ (-1 -3) (-2 -2)
в)
{xy-2y-4x=-5
{x-3y=-10
x=-10+3y
(-10+3y)y-2y-4(-10+3y)=-5
-10y+3y^2-2y+40-12y=-5
3y^2-24y+45=0
D=4
y=3
y=5
x=-10+3*3=-1
x=-10+3*5 =5
ответ (3 5 ) ( -1 5)
ОДЗ: a ≥ 0
Геометрия уравнений:
· 1-ое уравнение системы можно представить в виде
- это уравнение окружности с центром, движущимся по кривой y=√x и радиусом (a-√a)/√2.
· 2-ое уравнение - совокупность двух прямых
1) Исследуем взаимное расположение первой прямой и окружности. Подставим y = x в первое уравнение системы. Получим квадратное уравнение:
⇒ прямая y = x является касательной к окружности при любых a ≥ 0, что дает нам одно решение системы:
(!) Заметим, что при a = 0 и a = 1 окружность вырождается в точку (0, 0) и (1, 1) соответственно ⇒ система имеет только одно решение при этих значениях a.
2) Исследуем взаимное расположение второй прямой и окружности. Подставим y = (x+4a)/(4√a) в первое уравнение системы. Получим квадратное уравнение:
Оценим дискриминант при значениях a = 2, a = 3, a ≥ 4:
· a = 2
т.к. 95/66 = (99 - 4)/66 = 1.5 - (2/33) > 1.5 - (7/100) = 1.43 > √2 ≈ 1.41
· a = 3
т.к. 190/98 = (196-6)/98 = 2 - (6/98) > 2 - (7/100) = 1.93 > √3 ≈ 1.73
· a ≥ 4
- очевидно, т. к.
ведь
Таким образом, при целочисленном a ≥ 2 прямая пересекает окружность в двух различных точках и, соответственно, дает 2 решения системы. Убедимся что они не совпадают с полученным ранее решением при целочисленных a. Для этого подставим x = y = = (a + √a)/2 в уравнение y = (x + 4a)/(4√a), откуда найдем a = (33+5√41)/32 - не явл. целочисленным.
При a = 0 и a = 1 система имеет одно решение. При a ≥ 2, a ∈ Z система имеет 3 решения.
ответ: при любых целочисленных a ≥ 0.
