номер 629 страница 167 алгебра​

Если исходное число равно A, то число, большее на 1, равно A + 1, а новое шестизначное число равно 1000A + (A + 1) = 1001A + 1. 1001A + 1 должно быть полным квадратом.

1001A + 1 = n^2
1001A = n^2 - 1
1001A = (n - 1)(n + 1)

100 <= A <= 998, поэтому 100101 <= n^2 <= 998999, 317 <= n <= 999.

1001 = 7 * 11 * 13. Поскольку n < 1000, n - 1 или n + 1 не могут делиться на все три числа одновременно, перебираем варианты.

1) n - 1 делится на 7, n + 1 делится на 11 * 13 = 143.
n + 1 = 143k, k < 7
n - 1 = 143k - 2 = 140k + (3k - 2) делится на 7, т.е. 3k - 2 делится на 7. 
Перебором находим k = 3, n = 143 * 3 - 1 = 428.
n^2 = 183184, A = 183

2) n - 1 делится на 11, n + 1 делится на 7 * 13 = 91.
n + 1 = 91k, k < 11
n - 1 = 91k - 2 = 88k + (3k - 2) делится на 11, т.е. 3k - 2 делится на 11.
Перебором находим k = 8, n = 91 * 8 - 1 > 428

3) n - 1 делится на 13, n + 1 делится на 7 * 11 = 77.
n + 1 = 77k, k < 13
n - 1 = 77k - 2 = 78k - (k + 2), k + 2 делится на 13, откуда k = 11.
n = 77 * 11 - 1 > 428

4) n + 1 делится на 7, n - 1 делится на 143
n - 1 = 143k, k < 7
n + 1 = 143k + 2 = 140k + (3k + 2), 3k + 2 делится на 7, k = 7 - 3 = 4.
n = 143 * 4 + 1 > 428

5) n + 1 делится на 11, n - 1 делится на 91.
n - 1 = 91k, k < 11
n + 1 = 88k + (3k + 2), 3k + 2 делится на 11, k = 11 - 8 = 3
n = 91 * 3 + 1 = 274 < 317, не подходит

6) n + 1 делится на 13, n - 1 делится на 77.
n - 1 = 77k, k < 13
n + 1 = 78k - (k - 2), k - 2 делится на 13, k = 13 - 11 = 2
n = 77 * 2 + 1 = 155 < 317, не подходит.

ответ. 183

Используем формулу разности квадратов (a+b)(a-b) = a² - b², начиная с конца. 

1) Умножим и разделим последний множитель на (5-1).
(5+1) = (5+1)(5-1) : (5-1) = (5²-1)·1/4 = (5²-1)·0,25

2) А теперь полученный результат умножим на предпоследний (5²+1) и получим:
(5²+1)(5²-1) ·0,25 = (5⁴-1)·0,25

3) Полученный результат умножим на предыдущий (5⁴+1) и получим:
(5⁴+1)(5⁴-1) ·0,25 = (5⁸-1)·0,25

4) Полученный результат умножим на предыдущий (5⁸+1) и получим:
(5⁸+1)(5⁸-1) ·0,25 = (5¹⁶-1)·0,25

5) Полученный результат умножим на предыдущий (5¹⁶+1) и получим:
(5¹⁶+1)(5¹⁶-1) ·0,25 = (5³²-1)·0,25

6) Полученный результат умножим на предыдущий (5³²+1) и получим:
(5³²+1)(5³²-1) ·0,25 = (5⁶⁴-1)·0,25 

7) Полученный результат умножим на предыдущий (5⁶⁴+1) и получим:
(5⁶⁴+1)(5⁶⁴-1) ·0,25 = (5¹²⁸-1)·0,25

8) Полученный результат умножим на предыдущий (5¹²⁸+1) и получим:
(5¹²⁸+1)(5¹²⁸-1) ·0,25 = (5²⁵⁶-1)·0,25

9) Полученный результат умножим на предыдущий (5²⁵⁶+1) и получим:
(5²⁵⁶+1)(5²⁵⁶-1) ·0,25 = (5⁵¹²-1)·0,25

10) Полученный результат умножим на предыдущий (5⁵¹²+1) и получим:
(5⁵¹²+1)(5⁵¹²-1) ·0,25 = (5¹⁰²⁴-1)·0,25

11) И, наконец, находим разность
0,25 * 5¹⁰²⁴- (5¹⁰²⁴ - 1) * 0,25 = 0,25 * 5¹⁰²⁴- 0,25 * 5¹⁰²⁴ + 0,25 = 0,25 - это ответ.