Чотири числа утворюють геометричну прогресію. Якщо до них додати відповідно 3, 11, 7 і 15, тоді отримаємо чотири числа, які утворюють арифметичну прогресію. Знайди числа, що утворюють геометричну прогресію.

 Используем геометрическое определение вероятности события A — "встреча с другом состоится".Если площадь S(X) фигуры X разделить на площадь S(A) фигуры A , которая целиком содержит фигуру X, то получится вероятность того, что точка, случайно выбранная из фигуры X, окажется в фигуре A.  
Обозначим за x и y время прихода, 0≤x,y≤60 (минут), так как время ожидания с 13.00 до 14.00 равно 60 мин. В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, лежащие внутри квадрата OABC. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 6 минут, то есть   
  y-x<6 ,  y<x+6  (y>x) и 
  x-y<6  ,  y>x-6  (y<x).
Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в области Х.
Для построения области Х надо построить прямые у=х+6 и у=х-6.Затем рассмотреть точки, лежащие ниже прямой у=х+6 и выше прямой у=х-6.
Кроме этого точки должны находиться в квадрате ОАВС.
Площадь области Х можно найти, вычтя из площади квадрата ОАВС площадь двух прямоугольных треугольников со сторонами (60-6)=54:
S(X)=S(OABC)-2*S(Δ)=60²-2*1/2*54*54=3600-2916=684.

1.

а)

х²/(х²-у²) * (х-у)/х = х²/(х-у)(х+у) * (х-у)/х = х/(х+у),

б)

а/(3а+3в) : а²/(а²-в²) = а/(3*(а+в)) : а²/(а-в)(а+в) =

= а/(3*(а+в)) * (а-в)(а+в)/а² = (а-в)/3а,

в)

(-2с³/у)⁵ = -32с¹⁵/у⁵

г)

х/у² * 4ху = 4х²/у

2.

( у/(у-х) - (у-х)/у ) * (у-х)/х =

= ( у² - (у-х)²) / (у-х)у ) * (у-х)/х =

= ( у²-у²+2ху-х² ) / (у-х)у ) * (у-х)/х =

= х(2у-х) / (у-х)у ) * (у-х)/х = (2у-х) / у,

3.

(2х-4)/(х²+12х+36) : (8х-16)/(х²-36) =

= 2*(х-2)/(х+6)²  :  8*(х-2)/(х-6)(х+6) =

= 2*(х-2)/(х+6)²  :  (х-6)(х+6)/8*(х-2) =

= (х-6) / 2*(х+6),

при х = 1,5:  

(1,5-6) / 2*(1,5+6) = -4,5 / (2*7,5) = -4,5 / 15 = -3/10  (или  -0,3)

4.

( а-8 + 32а/(а-8) ) * ( 8+а - 32а/(8+а) ) =

= [ ( (а-8)²+32а )/(а - 8) ]   *  [ ( (8+а)²-32а)/(8+а) ] =

= (а²-16а+64+32а)/(а-8)  *  (64+16а+а²-32а)/(8+а) =

= (а²+16а+64)/(а-8)  *  (а²-16а+64)/(8+а) =

=  (а+8)²/(а-8)  *  (а-8)²/(8+а) =

= (а + 8)(а - 8) = а² - 64

рукописный вариант:

⇅⇅⇅⇅