2. Побудуйте графік функції у=х2 - 2х - 3. Користуючись графіком, знайдіть: 1) у(2); у(-1,5); у(2,5).
2) значення х, при яких у(х)=5; у(х)=-4; у(х)=-1
3) найбільше і найменше значення функції; 4) область значень функції;
5) проміжок зростання і проміжок спадання функції;
6)множину розв’язків нерівності у(х)<0; у(х)>0.

Решение. По формуле разности квадратов 1002–992 = 100+99; 982–972 = 98+97; 962–952=96+95; …

Поэтому 1002–992+982–972+...+22–12= 100+99+98+97+96+95+..+2+1 = (100+1)×100/2=5050.

10.2. Решение:

Пусть (а – целое, а ≠0). Тогда , и число

- целое. Это может быть только в том случае, когда является либо , .

Если , то , , и сумма - целое число.

Если , то а – нецелое число, и этот случай невозможен.

Если , то , , и сумма - целое число.

Если , то , а этот случай невозможен.

То есть во всех возможных случаях сумма является целым числом.

1)
Область определения функции - все действительные числа, так как при а>0 под корнем находится положительное число, следовательно из него можно извлечь квадратный корень. График функции непрерывен на всей области определения. Так как для функции выполняется соотношения f(-x)=f(x), то она является четной функцией. Функция не имеет периода.
2)

Значит, асимптотой является прямая y=x, а также симметричная ей прямая относительно оси ординат y=-x, так как функция четная
3)

При а>0 это уравнение не имеет решений, значит нулей у функции нет. Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то функция на всей области определения положительна.
4)

Производная равна нулю только в точке х=0 - это точка минимума, так как производная меняет свой знак с "-" на "+". Следовательно, при х<0, то есть при отрицательной производной, функция убывает, при х>0 - возрастает, так как производная больше нуля. Минимум функции находим как значение самой функции в точке минимума:

5)

Вторая производная при любых а>0 и х положительна, значит функция на всей области определения вогнута и у нее нет точек перегиба.

1)

Функция не является непрерывной, так как она не она не определена при . Так как для функции выполняется соотношения f(-x)=f(x), то она является четной функцией. Функция не имеет периода.
2)

Значит, асимптотой является прямая y=x, а также симметричная ей прямая относительно оси ординат y=-x, так как функция четная
3)
Нули функции:

Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то функция в остальных точках области определения, то есть при положительна.
4)

Производная равна нулю только в точке х=0, однако эта точка попадает в область определения функции только при а=0. В общем случае, при , то есть при отрицательной производной, функция убывает, при - возрастает, так как производная больше нуля. Точки минимума совпадают с нулями функции и соответственно сами минимумы равны нулю.
5)

Вторая производная при любых а>0 и х отрицательна, значит функция на всей области определения выпукла (в знаменателе стоит выражение, которое в соответствии с областью определения не может быть отрицательным числом), точек перегиба у функции нет.