Выразим у через х:
4у = x^2 - 4x
y = 0,25x^2 - x
Парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, обычно задается уравнением y = Ax^2 + Bx + C, где A, B, и C — константы. Ось такой параболы параллельна оси ординат. Координаты вершины параболы равны (-B/2A, - B^2/(4A) + C).
Находим координаты вершины: (2; -1)
Такая парабола полностью эквивалентна параболе, заданной уравнением y = Ax^2, сдвинутой путем параллельного переноса на -B/2A по оси абсцисс и на -B^2/(4A) + C по оси ординат. Это легко проверить заменой координат. Следовательно, если вершина параболы, заданной квадратичной функцией, находится в точке (x, y), то фокус этой параболы находится в точке (x, y + 1/(4A)).
Итак, координаты фокуса: (2; 0)
25^x + (4/25^x) - ( 5^x + (2/5^x) ) <= 2,
25^x + (4/25^x) = (5^x)^2 + (2/5^x)^2 = (5^x)^2 + 4 + (2/5^x)^2 - 4 =
= ( 5^x + (2/5^x) )^2 - 4.
сделаем замену переменной 5^x + (2/5^x) = t.
Тогда получим следующее неравенство:
t^2 - 4 - t <= 2,
t^2 - t - 6 <=0,
t^2 + 2t - 3t - 6 <=0,
t*(t+2) - 3*(t+2) <=0,
(t+2)*(t-3) <=0,
Решая это неравенство найдем, что -2<=t<=3.
Теперь делаем обратную замену переменной и нужно решить систему из двух неравенств:
5^x + (2/5^x) >= -2,
5^x + (2/5^x) <=3.
1) 5^x + (2/5^x) >= -2, домножаем на 5^x >0,
5^(2x) + 2*5^x + 2 >=0,
( 5^x + 1)^2 + 1 >=0, верно для всех икс.
2) 5^x + (2/5^x) <=3, домножаем на 5^x >0,
5^(2x) - 3*5^x + 2 <=0,
опять делаем замену 5^x = u,
u^2 - 3u + 2 <=0,
u^2 - u - 2u + 2 <=0,
u*(u-1) - 2*(u-1) <=0,
(u-1)*(u-2) <=0,
решая это квадратное неравенство найдем, что
1<=u<=2
делаем обратную замену
1<=5^x <=2,
Получаем систему неравенств:
5^x >=1,
5^x <= 2.
1) 5^x >=1,
5^x >= 5^0,
x>=0.
2) 5^x <= 2 = 5^log_5(2),
x<= log_5(2).
Итак, 0<= x<=log_5(2) .
