4) Даны точки А(-1;2;0), B(1;4;0), C(1;0;0) и Q(-2;2;1).
Так как координаты точек А, В и С по оси OZ равны нулю, то все они лежат в одной плоскости xOy.
Находим площадь треугольника ABC:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 4 кв.ед.
Высота пирамиды равна расстоянию от точки Q до плоскости АВС, соответствему координате z = 1. То есть, Н = 1.
ответ: V = (1/3)SoH = (15/3)*4*1 = 4/3 куб.ед.
5) Даны вершины параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 :
А(2; -1; -2), В(4; 1; 2), С(0; -2; -2) и А1(-2; 0; 3).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0.
Подставим данные и упростим выражение:
x – 2 y - (-1) z - (-2)
4 – 2 1 - (-1) 2 - (-2)
0 – 2 (-2) - (-1) (-2) - (-2) = 0
x – 2 y - (-1) z - (-2)
2 2 4
-2 -1 0 = 0
(x – 2)(2·0-4·(-1)) – (y - (-1))(2·0-4·(-2)) + (z - (-2))(2·(-1)-2·(-2)) = 0
4x - 2 + (-8)y - (-1) + 2z - (-2) = 0
4x - 8y + 2z - 12 = 0 после сокращения на 2 получаем:
2x - 4y + z - 6 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данные:
d = |2·(-2) + (-4)·0 + 1·3 + (-6)|/√(2² + (-4)² + 1²) = |-4 + 0 + 3 - 6|/√(4 + 16 + 1) =
= 7/√21 = √21/3 ≈ 1.527525.
