Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. а) 2x^2 + 8х + 20 ≥ 0;
Б) —x^2— 10x + 25 > 0;
c)х^2 + 3x +2 ≤ 0
d) — 4х^2 – 4 >0.
1) Неравенство не имеет решений.
2) Решением неравенства является вся числовая прямая,
3) Решением неравенства является одна точка.
4) Решением неравенства является закрытый промежуток.
5) Решением неравенства является открытый промежуток.
6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.​

 A)   cosx≤1/2   ⇒  -1≤cosx≤1/2   ⇒   x∈ [2πk+π/3; (2(k+1)π -π/3]
       Подробнее:  cosx  убывающая  в  области  [0;π]     от  1  до -1,т. е.  у  нас   в  обл. [π/3 ;π]    от 1/2   до   -1
         cosx  возрастает  в  обл. [π;2π]  , у  нас   [π;2π-π/3]  или   [π;5/3·π] ⇒    x∈[π/3; π] U [π; 5/3·π] =[ π/3; 5π/3]  и  учитывая  периодичность   :  
         x∈ [2πk +π/3 ; 2πk+5π/3]   k∉N   

  b)  sinx>√2/2       
       sinx≥0   в  промежутке   [0;π] .  В  [0;π/2]    возрастает   от 0  до  1   и   убывает  от  1 до  0  в  обл.  [π/2;π].  ⇒   π - π/4 <x< π/4 , т.е.  x∈(π/4 ; 3π/4)
       ответ:  x∈ (π/4 + 2πk ; 3π/4 + 2πk)   k∉N
                                                                              

 3х^2-5х-12<0

Приравняем к нулю, получим квадратное уравнение, решим его:

3х^2-5х-12=0

D = 25 + 144 = 169 = 13^2 (в квадрате)

x1 = (5 + 13) / 6 = 3

x2 = (5 - 13) / 6 = -1  1/3

 

Графиком этого уравнения является парабола, её "ветви" направлены вверх, т. к. коэффицент перед x^2 положительный.  Схематично покажем значение y на графике.

       +                     -                     +  

   

           -1  1/3                   3

 

Нам нужно, чтобы у был меньше нуля, поэтому  ответ :   ( - 1  1/3  ;  3)  (потому что неравенство строгое).

 

:)