На складе завода хранилось не менее, чем 105 одинаковых ящиков с изделиями. В последствии использования количество изделий через некоторое время уменьшилось. Когда в каждом ящике осталось всего по 6 изделий, на склад привезли ещё 17 полных ящиков, после чего общее число количества изделий уменьшилось на 4, чем было до использования. Сколько ящиков было ИЗНАЧАЛЬНО?

1) Задумал х, умножил на 2, получил 2х, вычел 15, получил 2x - 15, разделил результат на 10 и получил 0.
(2x - 15)/10 = 0
2x - 15 = 0
2x = 15
x = 15/2 = 7,5

2) Задумал х, прибавил 7, получил x + 7, умножил это на 3, получил 3(x + 7),
Вычел 15 и получил 30.
3(x + 7) - 15 = 30
3(x + 7) = 30 + 15 = 45
x = 45/3 - 7 = 15 - 7 = 8

3) В 1 день км, во 2 день x + 10 км, а всего 48 км.
x + x + 10 = 48
2x = 48 - 10 = 38
x = 38/2 = 19; x + 10 = 29

4) Положили x яблок и 5x слив, а всего 18 фруктов.
x + 5x = 18
6x = 18
x = 3 - яблок; 5x = 15 - слив

5) В банке x л воды, в ведре 3x л.
x + 3x = 24
4x = 24
x = 6 л - в банке; 3x = 18 л - в ведре.

6) Андрею x лет, а Олегу в 3 раза больше или на 8 лет больше
3x = x + 8
2x = 8
x = 4 - Андрею, 3x = 12 - Олегу.

7) Из банки отлили 1/2 молока, потом половину остатка, то есть 1/4.
А потом еще половину остатка, то есть 1/8. Всего отлили
1/2 + 1/4 + 1/8 = 4/8 + 2/8 + 1/8 = 7/8 банки.
Осталось 1/8 банки и это 100 г. Значит, в банке было 100*8 = 800 г.

8) Скорость автобуса х км/ч, а автомобиля х+12 км/ч.
Некое расстояние автобус проехал за 4 часа, а машина за 3 часа.
4x = 3(x + 12)
4x = 3x + 36
x = 36 км/ч - скорость автобуса.
x + 12 = 36 + 12 = 48 км/ч - скорость автомобиля.
За 4 часа он проехал 36*4 = 144 км.

9) За 1 час ученик отошел от школы на 3 км, и в это время выехал вел.
За время t ученик успеет пройти 3t км, а вел проедет 16t км.
И это на 3 км больше, чем пройдет ученик.
S = 3t + 3 = 16t
13t = 3
t = 3/13 часа = 180/13 мин ~ 13,85 мин.
Расстояние от школы, которое успеет проехать велосипедист
S = 16t = 16*3/13 = 48/13 км ~ 3,7 км.

10.24
При возрастающей геометрической прогрессии:
b₁ >0,   q > 1.

b₄ - b₁ = 26/3
b₃ - b₁ = 8/3
S₅ - ?

b₄=b₁*q³
b₃=b₁*q²

{b₁*q³-b₁=26/3        {b₁(q³ -1)=26/3   
{b₁*q² -b₁=8/3         {b₁(q² - 1)=8/3

b₁=   26                  b₁ =   8      
      3(q³-1)                    3(q²-1)
  26      =    8     
3(q³-1)    3(q²-1)
  26     =    8    
q³-1         q² -1
26(q² -1)= 8(q³ -1)
13(q-1)(q+1)= 4(q-1)(q²+q+1)
13(q-1)(q+1) - 4(q-1)(q²+q+1)=0
(q-1)(13(q+1) - 4(q²+q+1))=0
(q-1)(13q+13-4q²-4q-4)=0
(q-1)(-4q²+9q+9)=0
q-1=0                        -4q²+9q+9=0
q=1                             4q² -9q-9=0
не подходит               D=81+4*4*9=81+144=225
                                   q₁= 9-15 = -6/8= -3/4 - не подходит
                                           8
                                   q₂= 9+15 =3
                                            8
b₁ =      8       =     8     = 1/3
        3(3² -1)     3 * 8
b₅ = b₁*q⁴ = 1/3 * 3⁴ = 3³ = 27
S₅ = b₁ -b₅q =1/3 - 27*3 =  1-243    = -242  = 40 ²/₆ = 40 ¹/₃
          1-q           1-3              3*(-2)       -6
ответ: 40 ¹/₃.

10.01
При возрастающей арифметической прогрессии  d>0.
А₅=4
А₄*А₆ - А₁*А₉ =60
S₃ -?

A₄=A₅ -d
A₆=A₅ +d
A₁=A₅ -4d
A₉=A₅+4d

(A₅-d)(A₅+d) - (A₅-4d)(A₅+4d)=60
A₅² - d² - A₅² +16d² =60
15d² =60
d² =4 
d= -2 - не подходит
d=2

A₁=4-4*2=4-8= -4
A₃= -4+2*2=-4+4=0
S₃= (A₁+A₃)*3 = 1.5*(-4+0)= -6
             2
ответ: -6.

10.29
q=2
S₇=635
b₇ - ?

S₇= b₁(q⁷ -1) = b₁ (2⁷ -1) = b₁ (128-1) = 127 b₁
           q-1            2-1
127 b₁ = 635
b₁ = 635/127
b₁ = 5

b₇ = b₁*q⁶
b₇ = 5*2⁶ = 5*64 = 320
ответ: 320

10.31
|q|<1 - убывающая геометрическая прогрессия
S₄ -?
{b₁ b₄ =3b₂
{b₁ + b₃=15

b₄=b₁*q³
b₃=b₁*q²

{b₁*b₁*q³=3*b₁*q         {b₁²*q³ - 3b₁q=0
{b₁+b₁q² =15               {b₁(1+q²)=15

b₁q (b₁q² -3)=0
b₁q=0                  b₁q² -3=0          
b₁=0 - нет           b₁q² =3
q=0 - нет             b₁= 3/q²

b₁(1+q²)=15
b₁= 15   
      1+q²
 15   =   3  
1+q²     q²
15q² =3(1+q²)
15q² -3q² = 3
12q² =3
q² = 3/12
q² = 1/4
q₁ = -1/2
q₂ = 1/2

b₁ = 3  = 12
      ¹/₄
При q= -1/2:
S₄ = 12((-¹/₂)⁴ -1) =  12(¹/₁₆ -1) =  - 24 (¹⁵/₁₆) = 8 * (¹⁵/₁₆) = 15/2 =7.5
            ⁻¹/₂ - 1              ⁻³/₂                    -3

При q =1/2
S₄ = 12((¹/₂)⁴ -1) = 12(¹/₁₆ -1) = -12*2*(¹⁵/₁₆) = 24 *(¹⁵/₁₆) = 45/2=22.5
            ¹/₂ -1                ⁻¹/₂                -1
ответ: 7,5  и  22,5