Каждый член геометрической прогрессии со знаменателем q возвели в квадрат. Будет ли полученная последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите, чему равен знаменатель прогрессии.

Если P(x) делится на Q(x), то

P(x)/Q(x)=A(x) ,где A(x)-многочлен.

Поскольку Q(x) делится на P(x),то

Q(x)/P(x)=B(x) ,где B(x) -многочлен.

Откуда верно, что:

A(x)*B(x)=1

Если знаете комплексный анализ, то очевидно, что многочлен со степенью больше нуля имеет хотя бы один корень (комплексный или действительный),но тогда и произведение многочленов должно иметь этот корень,но многочлен C(x)=A(x)*B(x)=1 ,не может иметь корней тк 1 не равно 0.

А значит оба многочлена  A(x) и B(x) имеют нулевую степень (константы),таким образом B(x)=c.(с не равно 0)

Q(x)=c*P(x)

Пусть многочлен A(x)  имеет степень n ,а  многочлен B(x) имеет степень m.Тогда очевидно, что многочлен A(x)*B(x) имеет степень m+n, но 1 это многочлен нулевой степени:

m+n=0

Тк m>=0 и n>=0, то m=n=0.

То есть B(x)=c (с не равно 0)

Q(x)=c*P(x) ,что и требовалось доказать.

1)

.

ответ: В.

2)

ответ: А.

3)

ответ: Г.

4)

ответ: А.

5)

ответ: А.

6)

Для начала решим систему неравенств, определяющую область допустимых значений :

Возводим обе части уравнения в квадрат.

По теореме Виета:

3 не подходит под область допустимых значений.

ответ: корень только один, и он положительный.

7)

 , тогда корень принадлежит промежутку .

ответ: .

8)

Областью определения функции является решение следующего неравенства:

Так как основание меньше единицы, то:

ответ: .

9)

Найдём область значения функции. , тогда . Значит, . Следовательно, из перечисленных чисел в множество значений входит только 5 (4 не входит, так как концы не включаем).

ответ: 5.

10)

Условие чётности функции: . Проверяем для каждой.

 - не подходит.

 - не подходит.

 - подходит.

ответ: .