Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства

     Условием существования арифметической прогрессии является то, что разность между a(n) и a(n-1) остается неизменной для всех членов прогрессии: a₂-a₁=a₃-a₂=a(n)-a(n-1)=d, d - разность арифм. прогрессии.
     4 предложенных последовательности рассмотрим на 1-х 3-х ее членах:
1. Последовательность квадратов натуральных чисел.
     a₁=1²; a₂=2²; a₃=3² => 4-1≠9-4 - данная последовательность не является арифметической прогрессией.
2. Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 2 меньше знаменателя.
     a₁=1/3; a₂=2/4; a₃=3/5 => (2/4-1/3=1/6; 3/5-2/4=1/10) 1/6≠1/10 - данная последовательность чисел - не арифметическая прогрессия.
3. Последовательность натуральных степеней числа 5.
     a₁=5¹; a₂=5²; a₃=5³ => 25-5≠125-25 - это не арифметическая прогрессия.
4. Последовательность натуральных чисел, кратных 5.
     Признак делимости на 5 - число должно оканчиваться на 5 или 0.
     a₁=5; a₂=10; a₃=15 => 10-5=15-10, d=5 - данная последовательность является арифметической прогрессией.
     ответ: 4)

Пусть a>b>0 докажите что a³>b³, a³>ab², a⁴>a²b², a²b²>b⁴

a² - b² = (a - b)(a + b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

a>b>0  ⇒ a - b > 0 a > 0 b > 0

1. a³>b³  

a³ - b³ > 0

(a - b)(a² + ab + b²) > 0  так как a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд

2. a³>ab²

a³ - ab² > 0

a(a² - b²) > 0

a( a - b)(a + b) > 0 так как a и a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд

3, a⁴>a²b²

a⁴ - a²b² > 0

a²(a² - b²) > 0

a²(a - b)(a + b) > 0 так как a и a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд

4. a²b²>b⁴

a²b²- b⁴ > 0

b²(a² - b²) > 0

b²(a - b)(a + b) > 0 так как b и a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд