Пусть x - сумма всех учеников в первой группе до перехода, а y - количество учеников в этой группе. Тогда:
x/y = 22
Пусть k - сумма всех учеников во второй группе до перехода, а l - количество учеников в этой группе. Тогда:
k/l = 45
Известно, что при переходе ученика из второй группы в первую, средний у обоих групп повысился на 1, то есть:
(x+n)/(y+1)=23
(k-n)/(l-1)=46
Где n - количество ученика, который перешёл из второй группы в первую. Выразим n в обеих формулах:
n = 23(y+1)-x
n = -46(l-1)+k
Приравняем правые части этих уравнений:
23(y+1)-x = -46(l-1)+k
23y+23-x = k-46l+46
x и k мы можем выразить из двух первых формул, то есть:
x = 22y
k = 45l
Подставим правые части данных уравнений в уравнение выше:
23y+23-x = k-46l+46
23y+23-22y = 45l-46l+46
y+23 = 46-l
y+l = 46-23
y+l = 23
Поскольку y - количество учеников в первой группе, а l - количество учеников во второй группе, то y + l = 23 ученика в обеих группах.
23 ученика в обеих группах
сos(4arctgx)=1/2
4arctgx=±arccos(1/2)+2πn, n∈Z;
4arctgx=±π/3+2πn, n∈Z;
arctgx=±π/12+πn/2, n∈Z;
x=tg(±π/12+πn/2), n∈Z;
cos((±π/12+πn/2))≠0
Поскольку арктангенс - это угол из (-π/2;π/2), при n =0 получим два ответа х=tg(±π/12).
tg(π/12)=(tg(π/4-π/6))=(1 -√3/3)/ (1+√3/3)=
(3-√3)/(3+√3) = (3-√3)²/(3²-(√3)² ) =(12-2√3)/(9-3)=2-√3/3
tg(-π/12)=-tg(π/12)=-(2-√3/3)=-2+√3/3
При n=1 х=tg(±π/12+π/2), указанному промежутку удовлетворяет tg(5π/12)=(tg(π/4+π/6))=(1 +√3/3)/ (1-√3/3)=
(3+√3)/(3-√3) = (3+√3)²/(3²-(√3)² ) =(12+2√3)/(9-3)=2+√3/3
При n=-1 х=tg(±π/12-π/2), указанному промежутку удовлетворяет tg(-5π/12)=-tg5π/12=-(2+√3/3 )=-2-√3/3
При n=2 х=tg(±π/12+π); и при n=-2 х=tg(±π/12-π), Корней нет. Остальные можно не проверять, они не войдут в промежуток
(-π/2;π/2).
ответ. х=±(2-√3/3); х=±(2+√3/3 )
