1.на колі розставлено 2010 точок. кожен з двох гравців за один хід може з'єднати будь-які точки відрізком, що не перетинає відрізки, які раніше вже були проведені. програє той, хто не може зробити свій черговий хід. хто з гравців може забезпечити собі виграш? відповідь обґрунтувати.

Кількість точок на колі 2010 - парне число!

Перший гравець може забезпечити собі виграш наступним чином.
Перший хід - зєднати дві діагонально протилежні точки (точки 1 і 1006 - далі пояснення)(тобто якщо позначити послідовно одна за одною точки кола номерами від 1 до 2010, то такими будуть точки 1 і 1006,2 і 1007, ...1005 і 2010),то
поділимо коло "навпіл" (так як невідомо чи рівномірно розкидані точки). "Навпіл" мається на увазі "симетрично", тобто якщо гравець 2 може зробити хід наприклад зєднати точки 2 і 107 наприклад, то гравець один зможе відповісти "симетричним" відповідним ходом 1007 і 1112 (тобто відповідними діагональними точками) на іншій "половині" кола, і навпаки.
Тобто якщо після першого ходу першого гравця 1-1006,
на кожен хід другого гравця у першого завдяки обраній стратегії "діагональних точок" буде відповідний "симетричний" хід.
Число точок скінченне, а значить і число можливих відрізків, які можна провести.
Значить настане момент коли другий гравцеь не зможе зробити чергового ходу. В цей момент він програє.