Найдите наибольшее целое решение неравенства
(Пример на фотографии)

заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.

 Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Объяснение:

1) n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)

Это произведение трех последовательных чисел.

Хотя бы одно из этих чисел четное. Если какое-то из чисел делится на 5, то произведение делится на 10.

2) Пусть ни одно из чисел n-1, n, n+1 не делится на 5. Тогда n при делении на 5 может давать остаток 2 или 3, то есть n = 5k+2 или n = 5k+3.

Разложим n^3 + n = n(n^2 + 1)

Найдем n^2 + 1 для обоих этих случаев.

a) n = 5k + 2

n^2 + 1 = (5k+2)^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 4 + 1 = 25k^2 + 20k + 5

b) n = 5k + 3

n^2 + 1 = (5k+3)^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 9 + 1 = 25k^2 + 30k + 10

В обоих случаях число n^2 + 1 делится на 5.

При этом заметим, что если n четное, то произведение n(n^2 + 1) делится на 10, а если n нечетное, то n^2 + 1 четное, и при этом оно же делится на 5, то есть оно делится на 10.

3) Таким образом, мы доказали, что либо n^3 - n = n(n-1)(n+1),

либо n^3 + n = n(n^2 + 1) делится на 10.