В решении.
Объяснение:
1) х₁ = 7 х² + рх - 35 = 0 р = ? х₂ = ?
По теореме Виета:
х₁ + х₂ = -р
х₁ * х₂ = q, отсюда:
х₂ = q : х₁ = -35 : 7 = -5;
х₂ = -5;
-р = х₁ + х₂, отсюда:
-р = 7 - 5 = 2;
-р = 2;
р = -2.
Уравнение имеет вид: х² - 2х - 35 = 0.
2) х₁ = 1 х² - 13х + q = 0 q = ? х₂ = ?
По теореме Виета:
х₁ + х₂ = -р
х₁ * х₂ = q,
отсюда:
х₁ + х₂ = 13
х₂ = 13 - 1
х₂ = 12;
q = 1 * 12 = 12
q = 12.
Уравнение имеет вид: х² - 13х + 12 = 0.
3) х₁ = 2 3х² + bх + 12 = 0 b = ? х₂ = ?
Разделить уравнение (все части) на 3, чтобы оно стало приведённым:
х² - b/3 х + 4 = 0
По теореме Виета:
х₁ + х₂ = -р
х₁ * х₂ = q,
отсюда:
х₁ * х₂ = 4
х₂ = 4 : 2 = 2
х₂ = 2;
х₁ + х₂ = -р
2 + 2 = - b/3
4 = - b/3
12 = -b
b = -12
Уравнение имеет вид: 3х² - 12х + 12 = 0.
4) х₁ - х₂ = 2 х² - 12х + q = 0 q = ?
По теореме Виета:
х₁ + х₂ = -р,
отсюда:
х₁ + х₂ = 12,
по условию:
х₁ - х₂ = 2;
Получили систему уравнений.
Выразить х₁ через х₂ во втором уравнении, подставить выражение в первое уравнение и вычислить х₂:
х₁ = 2 + х₂
2 + х₂ + х₂ = 12
2х₂ = 12 - 2
2х₂ = 10
х₂ = 5;
х₁ = 2 + 5
х₁ = 7.
По теореме Виета:
х₁ * х₂ = q,
отсюда:
q = 7 * 5 = 35
q = 35.
Уравнение имеет вид: х² - 12х + 35 = 0.
Так как тортики имеют постоянную высоту, то вместо рассмотрения объемов буем рассматривать соответствующие площади оснований.
Площадь основания тортика радиуса R:
Тогда, площадь основания одного Машиного куска:
Рассмотрим Дашин кусок (на картинке). Вертикальной и горизонтальной прямой разобьем его на 4 равные части и рассмотрим одну из них. Проведем еще одну прямую так, чтобы эта часть разделилась на сектор и прямоугольные треугольник.
Рассмотрим полученный сектор. Пусть α - угол между радиусами, образующими сектор. Тогда, площадь сектора:
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Зная, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, получим, что один из острых углов этого треугольника равен α. Выразим через этот угол и известный радиус катеты треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника:
Тогда, запишем сумму, представляющую площадь основания четверти кусочка Даши:
Отсюда площадь основания кусочка Даши:
По условию куски Маши и Даши должны быть одинаковы. значит:
Для решения уравнения построим график в Microsoft Excel (картинка).
По графику определим, что равенство выполняется при 
.
График при 
напоминает прямую, так как в данном случае имеем место быть первый замечательный предел.
Действительно, можно считать, что рассматриваемый угол α мал. Тогда: 
в соответствии с первым замечательным пределом. Тогда от имеющегося уравнения можно перейти к более простому:
Искомое расстояние от оси симметрии соответствует уже вводившейся величине d:
По той же причине синус малого аргумента можно заменить самим этим аргументом. Получим:
В частности, для практических целей выполненные приближенные допущения вполне допустимы и удачны.
Вернемся к полученному ранее уравнению:
Заметим, что информация о том, что Маша разрезала свой тортик на 8 частей, сосредоточена в знаменателе правой части. Поэтому, если изначально Маша разрезала тортик на N частей, то проведя аналогичные рассуждения мы получим уравнение вида:
