Нужно записать дано и решение системы уравнение

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что , получаем

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.

а) (x²-1)(x² - 5x + 4) < 0
     Разложим квадратные трехчлены на множители
     (х-1)(х+1)(х-1)(х-4) < 0
     (x-1)²(x+1)(x-4) < 0
Находим нули функции
х-1=0      х+1=0    х-4=0
х=1          х=-1      х=4
Отмечаем точки на числовой прямой пустым кружком ( мы - круглыми скобками)
и расставляем знаки
           +                            -                        _                    +
(-1)(1)(4)
ответ. (-1; 1)U(1;4)

б) (x² - 5x + 6)(x² - 3x +2) <0
Разложим квадратные трехчлены на множители
     (х-2)(х-3)(х-1)(х-2) < 0
     (x-2)²(x-3)(x-1) < 0
Находим нули функции
х-2=0      х-3=0    х-1=0
х=2          х=3      х=1
Отмечаем точки на числовой прямой пустым кружком ( мы - круглыми скобками)
и расставляем знаки
при х = 10
 (10-2)²(10-3)(10-1)>0
На (3;+∞) , содержащем х=10 ставим знак +, далее влево -,
при прохождении через точку 2 знак не меняется, так как множитель (х-2) входит в неравенство в степени 2.
И на последнем интервале слева снова знак +
           +                          -             -                    +
(1)(2)(3)
ответ. (1; 2)U(2;3)