а) 1/3 x2 + 3x + 6<0 b) -x2+5x-16>0 c) x^2+10x/10-2x+5/2<=20 d) 2x2-8x-111<(3x-5)(2x+6) e) x2-6x<0 f) x2 - 4>=0

D₁=(2p₁)²-4q₁=4p₁²-4q₁=4(p₁²-q₁)

D₂=(2p₂)²-4q₂=4(p₂²-q₂)

Условие

"если одно из них не имеет корней, то второе имеет корни" означает, что

если один дискриминат отрицателен, то одно квадратное уравнение не имеет корней, тогда второй дискриминат положителен и второе квадратное уравнение имеет два корня)

Пусть p₁²-q₁ < 0 Докажем, что

p₂²-q₂>0  при условии  q₁+q₂=2p₁p₂  

p₁²-q₁ < 0 ⇒ q₁ > p²₁ > 0

q₁+q₂=2p₁p₂  ⇒     p₂=(q₁+q₂)/2p₁

p₂²-q₂=(q₁+q₂)²/4p₁²  -   q₂ =  (q₁²+2q₁q₂+q²₂-4p²₁q₂)/4p²₁=

=(q²₁+q²₂)/4p²₁   +   2q₂(q₁-2p²₁)/4p²₁

Первая дробь положительна. Вторая дробь тоже должна быть положительной

Так как

q₁ > p²₁ > 0

⇒q₁-2p²₁>  p²₁-2 p²₁= - p²₁⇒   и тогда q₂ <0

D₂=4p²₂-q₂ >0

Это неполное задание. Полностью оно звучит так:
Функция f(x) задается системой:
{ f(x) = x + 3 ; при x < 0
{ f(x) = (x - 1)(x - 3) ; при 0 < x < 5
{ f(x) = -x + 13 ; при x > 5
При некотором k уравнение f(x) = k(x + 3) имеет ровно 3 корня.
Решение. Прямая y = k(x + 3) проходит через точку (-3; 0).
При любом k она будет пересекать две прямых, при x < 0 и при x > 5.
При k = 1 она совпадает с прямой f(x) = x + 3, тогда уравнение имеет бесконечное количество корней.
Ровно 3 корня будет, если эта прямая проходит через вершину параболы.
M0(2; -1).
Уравнение прямой через 2 точки:
(x + 3) / (2 + 3) = (y - 0) / (-1 - 0)
(x + 3)/5 = y/(-1)
y = -1/5*(x + 3)
k = -1/5