С КОНТРОЛЬНОЙ(АЛГБЕРА 8 КЛАСС) ​

F (x) =  - x² -2x +8  ;
* * * * *    f(x) = 9 - (x+1)²     * * * * *   =(3² - (x+1)² =(3 -x -1)(3+x+1) = - (x+4)(x -2)   * * * * *
1.  ООФ : ( - ∞ ; ∞) .
2. Функция не четной и не нечетной  * * * * * и не периодической  * * * * * .
3 Точки пересечения функции с координатными осями :
а) с  осью  y : x =0⇒ y = 8  ; A(0 ;8)      * * * * *  -0² -2*0 +8 =8  * * * * *
б) с  осью  x :  y =0 ⇒  - x² -2x +8 =0 ⇔ x² +2x -8 =0 ⇒x₁= -1 - 3 = - 4 ; x₂ = -1 +3 =2 .
B(-4; 0) и C(2;0).
* * * * * D/4 =  (2/2)² -(-8) = 9 =3²  * * * * *
4. Критические точки функции.
* * * * *    значения аргумента (x)  при которых производная =0 или не существует)    * * * * *
 f ' (x) = ( - x² -2x +8 )' = - (x²)' - (2x )'  +(8 )' =  -2* x - 2(x )' + 0 =  -2x - 2  = -2(x+1);
  f ' (x) = 0 ⇒ x = -1  (одна критическая  точка) .
5. Промежутки монотонности  :
а) возрастания : 
f ' (x) > 0 ⇔  -2(x+1) > 0 ⇔  2(x+1) < 0 ⇔ x < -1 иначе  x∈( -∞; -1).
б) убывания :
f ' (x) < 0 ⇔  -2(x+1) <  0 ⇔  2(x+1) > 0 иначе x∈ ( 1 ;∞ ).
6. Точки экстремума:
* * * * *   производная меняет знак  * * * * *
x =  - 1.    
7. Максимальное и минимальное значение функции :
Единственная точка экстремума  x =  - 1 является  точкой максимума ,
т.к.  производная меняет знак с минуса на  плюс .
max(y) = - (-1)² -2(-1) +8 = 9.
8. промежутки выгнутости и выпуклости кривой; найти точки перегиба.
* * * * *  f ' ' (x)  =0    * * * * *
 f ' ' (x) =( f'(x))' =( -2x -2) '  = -2  < 0 ⇒ выпуклая  в ООФ  здесь R  by  (-∞; ∞)
не имеет точки перегиба (точки при которых  f ' ' (x) = 0 ) .

P.S.   y = -x² -2x +8  = 9 -(x+1)²   .
График  этой функции парабола вершина в точке  M(- 1; 9) ,  ветви направлены вниз , что указано во второй строке решения .
 Эту  функцию предлагали наверно для "тренировки".

Объяснение:

a) cos(5x) — cos(3x) = 0 ;

-2 * sin((5x + 3x)/2) * sin((5x — 3x)/2) = 0 ;

sin(8x/2) * sin(2x/2) = 0 ;

sin(4x) * sin(x) = 0 ;

1 случай: sin(4x) = 0, следовательно 4х = пи*k, т. е. х(1) = (пи*k) / 4 ;

2 случай: sin(x) = 0, следовательно х(2) = пи*k .

ответ: х(1) = (пи*k) / 4; х(2) = пи*k б) sin(7x)-sin(x)=cos(4x)

по формуле разности синусов получаем

2·sin((7x-x)/2)·cos((7x+x)/2)=cos(4x)

2·sin(3x)·cos(4x)=cos(4x)

если cos(4x)≠0

то

x≠πk±π/4

обе части уравнения делим на cos(4x)

2·sin(3x)=1

sin(3x)=1/2

3x=π/6+2π·k

ответ 1

x=π/18+⅔π·k

3x=π-π/6+2π·k

3x=5π/6+2π·k

ответ 2

x=5π/18+⅔π·k

Результат

x ∈ {2π·k/3+π/18, 2π·k/3+5π/18}, k ∈ Z в) sin5x+sinx=0

2sin3xcos2x=0

2sin3x=0 3x=πn, n∈z x=πn/3, n∈z

cos2x=0 2x=π/2+πn, n∈z x=π/4+πn/2, n∈z

ответ: x1=πn/3, n∈z; x2=π/4+πn/2, n∈z г) 2cos2x*cosx=4cos2

2cos2x*(cosx-2)=0

cos2x=0 cosx=2-нет корней

2x=+-п/2+2пn

x=+-п/4+пn

nЕZ