докажите что при любом натуральном n (n> 1) значение выражения n в седьмой степени + 9n в шестой степени -n в квадрате - 9 n/ делится на n в пятой степени - 1.

Преобразуем 
5n^2+10=5*(n^2+2) 

тем самым мы получаем что квадрат должен быть кратен 5. 

Пусть 5*k - это число, квадрат которого должно образовать выражение 5*(n^2+2) 
тогда 

5*(n^2+2)=25*k^2 
или 
n^2=5*k^2-2 

Произведение 5*k^2 оканчивается либо на 5 либо на ноль, следовательно разность 5*k^2-2 оканчивается либо на 8 ли на 3. 
Получается что n^2 должен оканчиваться либо на 8 либо на 3, что не возвожно, так как квадраты могут оканчиваться на одно из чисел 0,1,4,5,6,9 

Следовательно 5n^2+10 не может быть квадратом натурального числа.