1)Решение системы неравенств [-2, (-1+√73)/4]
2)Решение системы неравенств х∈(0,2, 1)
Объяснение:
1. Решите систему неравенств:
3х+4≤4х+6
х-5≤4-2х²
Во втором неравенстве перенесём все члены уравнения в левую часть, приравняем к нулю и решим, как квадратное уравнение:
х-5-4+2х²≤0
2х²+х-9=0
х₁,₂=(-1±√1+72)/4
х₁,₂=(-1±√73)/4
х₁=(-1-√73)/4 ≈ -9,5
х₂=(-1+√73)/4 ≈ 7,5
Начертим СХЕМУ параболы, которую обозначает данное уравнение (ничего вычислять не надо). Просто начертим схематично оси, параболу с ветвями вверх, и отметим на оси Ох точки х₁ ≈ -9,5 и
х₂ ≈ 7,5. Ясно видно, что у<0 при х от -9,5 до 7,5, то есть,
решение второго неравенства х∈[(-1-√73)/4, (-1+√73)/4]
Решим первое неравенство.
3х+4≤4х+6
3х-4х ≤6-4
-х ≤2
х
-2 знак меняется
Решение первого неравенства х∈[-2, ∞).
Отметим на числовой оси решение первого неравенства и решение второго, чтобы найти пересечение решений, то есть, такое решение, которое подходит и первому, и второму неравенству.
Решение системы неравенств [-2, (-1+√73)/4] х от -2 до 7,5.
Неравенства нестрогие, скобки квадратные.
2. Решите двойное неравенство -3<2-5х<1
Решается как система:
2-5х>-3
2-5х<1
-5х> -3-2
-5x<1-2
-5x> -5
-5x< -1
x<1 знак меняется x ∈(-∞, 1) решение 1-го неравенства
x>0,2 знак меняется x ∈(0,2, ∞) решение 2-го неравенства
Отметим на числовой оси решение первого неравенства и решение второго, чтобы найти пересечение решений, то есть, такое решение, которое подходит и первому, и второму неравенству.
Решение системы неравенств х∈(0,2, 1)
Неравенства строгие, скобки круглые.
0).выделите корень уравнения, принадлежащий решению неравенства
х2 + 59х –122 ≤ 0.
решение: 1 способ. 3√х + 34 - 3√ х – 3 = 1
(3√х + 34)3 - 3 (3√х + 34)2 3√ х – 3 + 3 (3√х + 34) ( 3√ х – 3)2 - ( 3√ х – 3)3 = 1
(х + 34) - 3 (3√х + 34) 3√ х – 3 (3√х + 34) - 3√ х – 3) – ( х – 3) = 1
37 – 3 3√(х +34)(х-3) = 1
3√ х2 + 31х – 102 = 12
х2 + 31х – 102 =1728
х2 + 31х - 1830 = 0
х1= 30; х2= - 61 ответ: 30; - 61
проверка показывает, что оба числа являются корнями уравнения.
2 способ.
3√х + 34 - 3√ х – 3 = 1
3√х + 34 = 1 + 3√ х – 3
( 3√х + 34)3 = (1 + 3√ х – 3)3
х +34 = 1 + 33√х – 3 + 3( 3√ х – 3)2 + х – 3
3√ х – 3 =а, то 3а2 + 3а – 36 = 0
а2 + а – 12 = 0
а1=3, а2=-4
3√ х – 3 =3, х=30
3√ х – 3 = -4, х = - 61 ответ: 30; - 61
3 способ.
3√х + 34 - 3√ х – 3 = 1
х + 34 =у3, х – 3 =а3
х + 34 =у3,
х – 3 =а3,
у – а = 1
37 = у3 – а3 ; у3 – а3= (у – а)(у2 +уа +а2)= (у – – а)2 +3уа)
37 = 1(1 + 3уа); уа =12.
получаем, уа =12, у=4, а= 3 или у =-3, а = -4
у – а = 1
откуда, х – 3 = 27, х1=30
х – 3 = -64, х2 = - 61 ответ: 30; - 61
2.решите неравенство методом введения новой переменной: х - √х – 2 ≤ 0
решение: √х =а, а2 – а – 2≤ 0,
+ - +
-1 2
- 1 ≤ а ≤ 2, - 1 ≤ √х ≤ 2, 0 ≤ х ≤ 4
3. решите неравенство по алгоритму: g(х)≥0
√f(х) ≤ g(х) ↔ f(х) ≥0
f(х) ≤ g2(х)
√х2 – 3х – 18 < 4 – х, 4 – х ≥0,
х2 – 3х – 18 ≥0
х2 – 3х – 18 < 16 – 8х + х2
х ≤ 4
х2 – 3х – 18 ≥0
х < 6,8
ответ: (-∞; - 3]
4. решите неравенство по алгоритму: g(х)≥0
√f(х) ≥ g(х) ↔ f(х) ≥ g2(х)
f(х) ≥0
g(х) < 0
√ х – 2 < х – 4, х – 4> 0 или х – 4 ≤0
х – 2 > х2 – 8х + 16 х - 2≥0
х € (4; 6) х € [2; 4]
ответ: [2; 6)
для решения. 1. решите уравнения, используя свойство корня n-ой степени: √ 11 + 3х – 5х2 = 3 ; 5√ х4 - 49 = 2 ; √ х2 –16 = - √ х – 4; (х2 – 4) √х + 1 = 0; √ 7 + 3√( х2 +7) = 3. найдите целый корень. найдите произведение корней. найдите сумму корней.
2. решите уравнение методом введения новой переменной: х2 + √ х2 +20 = 22.
3.решите уравнение методом умножения на сопряженное выражение:
√ 2х2 + 8х +7 - √ 2х2 – 8х +7 = 2х.
4. решите уравнение методом разложения подкоренного выражения на множители:
√ 2х2+ 5х +2 - √ х2 + х – 2 = √ 3х + 6 .
5. решите уравнение методом выделения полного квадрата в подкоренном выражении:
√ х + 5 + 2√ (х +4) - √ х + 8 - 4√( х +4) = √ х +4 .
7. решите неравенства:
√ - х2 – 3х +4 > 2; 5√х5 +х2 – 4 > х; 5х – 17 √х+5 + 31 < 0 ;
√х +4 ≥ 5 - √9 - х ; √х- 3 • 5√ 5 – х ≥0 ; √ х2 – 3х – 18 < 4 – х; √ х2 + 3х – 18 > 2х +3.
