Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур. где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга - Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

- вероятность победы

Иван и Алексей сыграют друг с другом в 1 туре, если так будет определено жеребьевкой.

Рассмотрим возможных соперников Ивана. Их 15 человек. Поэтому, вероятность того, что по результатам жеребьевки 1 тура Иван будет играть именно с Алексеем равна:

Таким образом, вероятность сыграть Ивану и Алексею в 1 туре между собой равна:

Если Иван и Алексей не сыграли между собой в 1 туре, то возможно они сыграют между собой во 2 туре. Но для этого каждому из них необходимо как минимум выиграть в 1 туре.

Вероятность того, что и Иван и Алексей окажутся во 2 туре, равна:

Во 2 туре играет 8 человек, то есть 7 возможных соперников для каждого. По результатам жеребьевки 2 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:

Значит, играть Иван и Алексей между собой во 2 туре будут с вероятностью:

Если Иван и Алексей не играли между собой во 2 туре, то они имеют шансы выйти в 3 тур. Это произойдет с вероятностью:

В 3 туре играет 4 человека, то есть 3 возможных соперника для каждого. По результатам жеребьевки 2 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:

Значит, Иван и Алексей сыграют между собой в 3 туре с вероятностью:

Вероятность выхода Ивана и Алексея в 4 тур:

Если Иван и Алексей вышли в 4 тур, то есть в финал, то они, конечно, сыграют друг с другом:

Итоговая вероятность сыграть Ивану и Алексея друг с другом в каком-либо туре равна:

ответ: 1/8