Ровно в 10:00 муравьи Петя и Вася начинают ползти по дорожке навстречу друг другу. Они встретились, когда Петя прополз ровно треть всей дорожки. На следующий день они снова ползли по той же дорожке навстречу друг другу, только Петя начал ползти в 10:00, а Вася — в 10:01, и до встречи Петя прополз половину дорожки. На третий день они снова ползли по той же дорожке навстречу, только Петя начал в 10:01, а Вася — в 10:00. Какую часть всего пути Петя успеет проползти до встречи?

Чтобы число делилось на 22,оно должно делиться на 2 и 11.Значит должно оканчиваться 0,2,4 или 8 и сумма цифр ,стоящих на четных местах должна равняться сумме цифр ,стоящих на нечетных местах.
Исходя из условия на 0 оканчиваться не может,тогда произведение будет равно 0.
1)пусть в конце стоит 2,тогда произведение трех первых равно 30
30=1*5*6
Тогда это число 1562 или 6512
1+6=5+2
2)пусть в конце стоит 4,тогда произведение трех первых равно 15
15=1*3*5
Не подходит ,так как сумма всех 13 и на 2 равных суммы не разделить
3)пусть в конце стоит 6,тогда произведение трех первых равно 10
10=1*2*5
Тогда число 5126 или 2156

Число кратно 22-ум только в том случае, когда оно делится и на 2, и на 11 (по основной теореме арифметики). То есть крайняя правая цифра числа должна быть кратной 2 и разность суммы цифр, стоящих на четных местах, и цифр на нечетных делиться на 11. Примеры любых таких чисел( это не ответ к задаче) : 66889966; 2112. 





В задаче требуется, чтобы произведение цифр искомого числа равнялось 60. Возьмем, например, число 6512. 6·5·1·2 = 60. Теперь проверим, делится ли такое число на 11: (6 +1) - (5+2) = 7-7 = 0 - значит искомое число делится на 11;



проверим также, делится ли оно на 2:  крайняя цифра числа 2 - значит оно кратно двум.



Так как искомое число делится и на 2, и на 11 - значит оно делится на 22:



ответ: 6512.

Рассмотрим теперь, сколько всего может быть чисел, удовлетворяющих нашему условию. Для этого разложим 60 на простые множители. 60=2·2·3·5. Это значит, что чисел, кроме: 1,2,3,4,5,6 в искомом числе быть не может. Докажем теперь, что в искомом числе не может быть цифры 3. Пусть искомое число содержит 3, тогда произведение оставшихся чисел равняется 20. А разбив 20 на простые множители, получим: 2²·5=20. Следовательно, оставшиеся цифры искомого числа: 1,2,4,5.  Составим из оставшихся трех чисел число 20: 2·2·5 ; 4·5·1. Всего 2 варианта составления, без учета перестановок. А это означает, что искомое число не содержит число три: 1) 3+2 =5 , а 2+5≠ 5; 2) 3+5 =8, а 2+2≠8 ; 3) 3+1 = 4, а 4+5 ≠4 ; 4)3+5 =8, а 4+ 1≠ 5; 5) 3+4 = 7, а 5+1 ≠7. Из пунктов 1) - 5) можно сделать вывод, что если искомое число содержит 3, то оно не будет кратно 11, а значит и 22. 

Докажем, что указанное число не содержит цифру 4. Если искомое число содержит цифру 4, то произведение оставшихся трех цифр равняется 15. Разложив число 15 на простые множители, убедимся, что: 15 = 3·5. А это означает, что искомое число содержит 3, что противоречит предыдущему доказательству.

У нас остались следующие числа для составления искомого числа: 1, 2, 5, и 6.
Рассмотрим теперь все оставшиеся варианты составления указанного числа: [1] если на первом месте (слева) стоит 1, то на третьем месте 6.  Следовательно остается один вариант составления искомого числа 1562;
[2]  если на первом месте (слева) стоит 2, то на третьем месте 5. Значит остается один вариант составления указанного в условии числа 2156;
[3] если же на первом месте (слева) стоит 5, то на третьем место цифра 2. А это значит, что у нас имеется всего один вариант для составления искомого числа: 5126. 
[4] если на первом месте (слева) стоит 6, то на третьем место будет стоять 1, что означает, что у нас остался последний вариант составления искомого числа: 6512.

С пунктов [1] - [4] придем к заключению: можно составить лишь четыре числа, которые будут удовлетворять условию задачи, а именно: 1562, 2156, 5126, 6512.