0.25. Выделите полный квадрат квадратного трехчлена: 1) х2 – 6х-16;
2) x2 + 12x+ 20;
3) х2 - 5х+6;
4) x2 + x -2;
5) x2 - 4x +3;
6) x2 – 3х – 10;
7) х2+9х+14;
8) х2 - 2x – 35.

Dy/dx=y`

y`=–y/(2√xy–x)

Делим и числитель и знаменатель дроби справа на х:

y`=(y/x)/(2√x/y–1)

Справа функция, зависящая от (y/x)

Значит, это однородное уравнение первой степени

Решается заменой

y/x=u

y=x·u

y`=x`·u+x·u`

x`=1

y`=u+x·u`

u+xu`=–(xu)/(2√x·ux–x)

Это уравнение с разделяющимися переменными

не нравится.

Громоздко.

Поскольку переменные х и у равноправны, то можно сделать и так:

dx/dy=x`

y·x`=–2√xy+x

x`=–2√x/y+(x/y)

Замена лучше так:

x/y=u

x=u·y

x`=u`·y+u·y` ( y`=1)

x`=u`·y+u

тогда

u`·y+u=–2√u+(u)

u`·y=–2√u – уравнение с разделяющимися переменными

y·du=–2√udy

du/2√u=–dy/y

Интегрируем:

∫ du/2√u=– ∫ dy/y

√u=–lny+c

или вместо c лучше написать lnC

√u=–lny+lnC

√u=ln(C/y)

C/y=e^(√u

u=x/y

С/у=e√x/y – общее решение

dy/dx=y`

y`=–y/(2√xy–x)

Делим и числитель и знаменатель дроби справа на х:

y`=(y/x)/(2√x/y–1)

Справа функция, зависящая от (y/x)

Значит, это однородное уравнение первой степени

Решается заменой

y/x=u

y=x·u

y`=x`·u+x·u`

x`=1

y`=u+x·u`

u+xu`=–(xu)/(2√x·ux–x)

Это уравнение с разделяющимися переменными

не нравится.

Громоздко.

Поскольку переменные х и у равноправны, то можно сделать и так:

dx/dy=x`

y·x`=–2√xy+x

x`=–2√x/y+(x/y)

Замена лучше так:

x/y=u

x=u·y

x`=u`·y+u·y` ( y`=1)

x`=u`·y+u

тогда

u`·y+u=–2√u+(u)

u`·y=–2√u – уравнение с разделяющимися переменными

y·du=–2√udy

du/2√u=–dy/y

Интегрируем:

∫ du/2√u=– ∫ dy/y

√u=–lny+c

или вместо c лучше написать lnC

√u=–lny+lnC

√u=ln(C/y)

C/y=e^(√u

u=x/y

С/у=e√x/y – общее решение