Объяснение:
Решим методом математической индукции.
Докажем, что:
База индукции:
Индукционный переход:
Ч.т.д.
![\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}cos(n\alpha)&-sin(n\alpha)\\sin(n\alpha)&cos(n\alpha)\end{array}\right]](/tpl/images/4553/1003/20436.png)
![\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]^1=\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]](/tpl/images/4553/1003/0234b.png)
![\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]^n*\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]^{n+1}\\](/tpl/images/4553/1003/59050.png)
![\left[\begin{array}{cc}cos(n\alpha)&-sin(n\alpha)\\sin(n\alpha)&cos(n\alpha)\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos((n+1)\alpha)&-sin((n+1)\alpha)\\sin((n+1)\alpha)&cos((n+1)\alpha)\end{array}\right]](/tpl/images/4553/1003/a7959.png)
![\left[\begin{array}{cc}cos(n\alpha)&-sin(n\alpha)\\sin(n\alpha)&cos(n\alpha)\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha)&-sin(\alpha)\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right]=](/tpl/images/4553/1003/2bf51.png)
![=\left[\begin{array}{cc}cos((n\alpha)cos(\alpha)-sin(\alpha)sin(\alpha)&cos((n\alpha)(-sin(\alpha))-sin(n\alpha)cos(\alpha)\\sin((n\alpha)cos(\alpha)+cos(n\alpha)sin(\alpha)&sin(n\alpha)(-sin(\alpha))+cos(n\alpha)cos(\alpha)\end{array}\right]=](/tpl/images/4553/1003/5100d.png)
![=\left[\begin{array}{cc}cos(\alpha+n\alpha)&-sin(n\alpha+\alpha)\\sin(n\alpha+\alpha)&cos(n\alpha+\alpha)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos((n+1)\alpha)&-sin((n+1)\alpha)\\sin((n+1)\alpha)&cos((n+1)\alpha)\end{array}\right]](/tpl/images/4553/1003/ede8b.png)
