Вариант 1
1. Представить в виде многочлена:
а) (b-5)(b-4)-3b(2b-3)
b²-4b-5b+20-6b+9b
-5b²+0+20
-5b²+20
б) 3x(x-2)-(x-3)²
3x²-6x-(x²-6x+9)
3x²-6x-x²+6x-9
2x²-9
в) 5(а+1)²-10а
5(а²+2а+1)-10а
5а²+10а+5-10а
5а²+5
2. Разложить на множители:
а) 3c³-75c
3c(c²-25)
3c(c-5)(c+5)
б) 3x²+6xy+3y²
3(x²+2xy+y²)
3(x+y)²
в) x³+8
x³+2³
(x+2)(x²-x*2+2²)
(x+2)(x²-2x+4)
3. Упростить выражение:
(y²+6y)²-y²(6+5y)(6-5y)-y²(12y-y²)
y⁴+12y³+36y²-y²(36-25y²)-12y³+y⁴
y⁴+12y³+36y²-36y²+25y⁴-12y³+y⁴
27y⁴
4. Разложить на множители:
а) (a-b)²-a²
(a-b-a)(a-b+a)
-b(a-b+a)
-b(2a-b)
б) x³+y³+2xy(x+y)
x³+y³+2xyx+2xy*y
x³+y³+2x²y+2xy²
5. Доказать, что если из квадрата нечетного числа вычесть 1, то результат будет делиться на 8:
Рассмотрим нечетное число как (2x - 1). Доказательство:
(2х - 1)² - 1 = 4х² - 4х + 1 - 1 = 4х² - 4х = 4*х*(х - 1) => данное выражение делится на 4, но т.к в 'х*(х-1)' одно число четное, значит данное выражение делится и на 2 => все это выражение делится на 8.
6. При любом натуральном n найдите остаток от деления выражения (n+1)(n+5)-(n-2)(n+2) на 6:
(n+1)*(n+5)-(n-2)*(n+2)=n²+6n+5-n²+4=6n+9.
(6n+9)/6=n+9/6=n+1,5, откуда ответ: 1,5
7. Решите уравнение:
(2x-1)(4x²+2x+1)-8x(x²+1)=3x+4
8x³-1-8x³-8x=3x+4
-1-8x=3x+4
-8x-3x=4+1
-11x=5
x= -5/11.
Надеюсь на лучший ответ, всего доброго!Объяснение:
у = х⁴ + 4х³
1. ОДЗ: х∈R
2.Четность, нечетность.
у(-х) = (-х)⁴ + 4(-х)³=х⁴-4х³
у(-х) ≠ у(х) ≠ -у(х) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть - общего вида.
3. Пересечение с осями.
х=0 ⇒ у=0
у=0 ⇒ х⁴ + 4х³ = 0; х³(х + 4) = 0 ⇒ х = 0; х = -4.
4. Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Возрастание, убывание, экстремумы.
Найдем производную, приравняем к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знак производной на промежутках. Если "+" - функция возрастает, "-" - убывает.
y' = 4x³ + 4·3x² = 4x³ + 12x² = 4x²(x + 3)
y'=0 ⇒ 4x²(x+3) = 0
x = 0; x = -3
См. рис.
Функция убывает при х∈(-∞; -3];
возрастает при х∈[-3; +∞)
В точке х = -3 производная меняет знак с "-" на "+" ⇒
х (min) = -3
y (-3) = 81-108 = -27
6. Выпуклость, вогнутость.
Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знак второй производной на промежутках. Если "+" - функция вогнутая, "-" - выпуклая.
y'' = 4·3x²+12·2x = 12x² +24x =12x(x+2)
y''=0 ⇒ x=0; x=-2
См. рис.
Функция вогнута при х∈(-∞; -2]∪[0; +∞)
выпукла при x∈[-2; 0]
х=-2 и х=0 - точки перегиба.
у(-2)=16-32 = -16; у(0) = 0
Строим график.
