Кто сможет, напишите с решением подробным, там где это требуется(желательно везде)

Поскольку необходимо представить число 68 в виде суммы двух чисел, то пусть первое число х, тогда второе число (68-х).
Тогда сумма квадратов слагаемых будет равна:
х²+(68-х)²=х²+68²-2*68*х+х²=2х²-136х+4624

Здесь можно найти минимальное значение 2-мя
1) с производной
(2х²-136х+4624)'=4x-136
4x-136=0
4x=136
x=136:4
х=34
Значит будет 2 одинаковых положительных числа 34 и 34.

2) с графика
y=2х²-136х+4624
Это парабола - ветви направлены вверх. Значит наименьшее значение будет в вершине параболы.
х₀=-b/2a=-(-136)/4=34

34+34=68

 Т.к. а- натуральное число, то а=0 мы рассматривать не будем.
Представим,что у нас неполное квадратное уравнение:
1) пусть a^2-25=0 ( нет свободного члена).
    a1=-5; a2=5
тогда уравнение будет выглядеть так:
x^2-(2a-4)x=0
x(x-2a+4)=0 - как видим, уравнение имеет два корня
a=-5 - не удовлетворяет условию, т.к. не является натуральным числом.

2)  пусть теперь средний коэффициент равен нулю
2a-4=0; a=2
Уравнение примет вид:
x^2+2^2-25=0
x^2=21 - два корня

3) Рассмотрим теперь полное квадратное уравнение с обязательным условием,что D>=0.
D=(2a-4)^2-4(a^2-25)=4a^2-16a+16-4a^2+100=-16a+116>=0;
-16a>=-116; a<=7,25
Т.к. а - натуральное число, то а =1,2,3,4,5,6,7.