Какой формулой пользоваться значения не имеет. На фотографиях представлены решения уравнения 
.
Если нарисовать числовую окружность, то значение есть координата точки 
по оси 
, ведь для любой точки числовой окружности справедливо, что 
, т.е. точка 
имеет координаты 
.
Если провести прямую, параллельную оси 
через точку 
, то она пересечётся с числовой окружностью в каких-то точках.
Чтобы было понятнее, советую нарисовать окружность радиусом 
и центром в точке 
и отмечать всё, о чём я пишу.
Теперь рассмотрим эти точки пересечения.
Если 
, то пересечения будут в первой и второй четвертях.
Если 
, то пересечения будут в третьей и четвёртой четвертях.
Если 
, то пересечений тоже два и это 
и 
.
Если 
, то пересечение только одно, при чём точка пересечения будет и точкой касания, и равна она 
.
Если же 
, то пересечение тоже одно, тоже является точкой касания, но значение равно 
.
А теперь вспомним определение арксинуса. Арксинусом числа 
называют такой угол 
, что . Главное здесь то, что может быть углом только первой четверти.
Отсюда же следует, что 
.
Это прекрасно работает для , ведь 
.
Но только недавно мы проверили, что у нас может быть и не одно, а два решения. Как поступить в случае, если арксинус работает только для углов первой четверти, а нам нужно, чтобы он работал во второй? ответ прост. - это число, а 
- угол.
Пусть прямая 
пересекается с окружностью в точках 
в первой четверти и 
во второй четверти, а точку на оси мы обзовём 
. Рассмотрим треугольники 
и 
, в них:
- отрезок, лежащий на оси , а 
- хорда, параллельная оси , значит 
, по аксиоме о перпендикулярности прямых. Следовательно, треугольники и - прямоугольные по определению. - отрезок, лежащий на радиусе и , значит 
по свойству радиуса. - общая сторона.Треугольники и равны по двум катетам. Из этого следует и то, что их соответственные углы равны. Т.е. угол 
и угол .
Но углы мы отсчитываем от точки 
, обзовём её 
. Тогда угол 
. А это угол первой четверти.
А угол 
- искомый угол второй четверти.
Как нам известно, все числа на числовой окружности получаются с поворота на определённый угол, пусть 
- этот угол. И если мы сделаем полный оборот, то мы хоть и придём в ту же самую точку, но вот число уже будет другое, ведь поворачивались мы на другой угол, равный 
. Таким образом, чтобы описать все числа, находящиеся в точке на окружности с координатами 
надо добавить 
, где 
- целое (чтобы получились полные обороты).
Вот так и получается первая формула.
Что до второй, то тут всё проще. Выводить её не буду, и так ответ уже километровый. В ней всё работает на чётности . Если - чётное, то формула трансформируется в 
, если нечётное, то в 
, ну а 
. Т.е. это тоже самое, только записанное в одну строчку. Использовать вторую формулу не советую. Она менее интуитивно понятная. Но если в ней разобраться, то решение уменьшается в размере, это правда.
Как-то так. Фу-у-у-ух. Много. Очень Много Букв.
P.S. Прости за задержку.
