Доведіть, що при будь-якому значенні змінної хвираз х2 + 6х + 10 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

Воспользуемся формулой P(x)/Q(x)<=0 <=> {P(x)•Q(x)<=0, Q(x) не равно 0.
Или же сразу же приступим к четырём пунктам метода интервалов.
1. у=х-4х^2/x-1
2. D(y)=R, кроме х=1.
3 у=0,
1)x-4x^2/x-1=0;
2)x-4x^2=0<=>x(1-4x)=0 <=> [x=0, x=1/4;
3) x-1 не равно 0, х не равно 1.
4. Наносим нули функции на вектор
+ - + -
01/41

Определяем знаки интервалов, подставив любое значение икс на промежутке в первый пункт, имеем:
Х€[0;1/4]U(1;+бесконечности) (1 мы выключили, но все значения, больше единицы нас удовлетворяют).

1) х³ + х² - 6 * х = 0

      х * (х² + х - 6) = 0

      х₁ = 0    х₂ = 2   х₃ = -3

 

2)  (x² - 2x + 3)(x² - 2x + 4) = 6

      пусть  х² - 2*х + 3 = т. уравнение принимает вид

          т * (т + 1) = 6

          т² + т - 6 = 0

            т₁ = -3      т₂ = 2

  1) х² - 2 * х + 3 = 2

          х² - 2 * х + 1 = (х - 1)² = 0

          х = 1

  2)  х² - 2 * х + 3 = -3

            х²- 2 * х + 6 = 0

    корней нет (дискриминант отрицательный)

3)  6*x² + 11*x - 2      = 0              6*x - 1

          уравнение  6*x² + 11*x - 2 = 0  имеет 2 корня:   х₁ = -2    х₂ = 1/6

          второй корень не подходит, так как в этом случае знаменатель равен нулю