дана функция y=2 корень из 3/ cos² x- 3cos (3x) +6/п Известно , что график некоторой ее первообразной проходит через точку (0;2) Чему равно значение этой первообразной в точке x=П/3

Для решения данной задачи мы должны найти значение первообразной функции в точке x=П/3.

1. Вначале найдем первообразную функции y=2 корень из 3/ cos² x- 3cos (3x) +6/п. Для этого возьмем каждое слагаемое по отдельности и найдем его первообразную.

А) Первообразная функции 2 корень из 3/ cos² x:
Известно, что первообразная функции g(x) = 1/cos x равна arctg(sin x). Следовательно, первообразная функции 2 корень из 3/ cos² x будет равна:

F(x) = (2 корень из 3/ cos² x) ∫ dx = (2 корень из 3) arctg(sin x) + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Б) Первообразная функции -3cos (3x):
Мы знаем, что первообразная функции cos x равна sin x, а значит первообразная функции -3cos (3x) будет равна:

G(x) = (-3cos (3x)) ∫ dx = -sin (3x) + C2,

где C2 - произвольная постоянная.

В) Первообразная функции 6/п:
Эта функция является постоянной, поэтому ее первообразная будет равна:

H(x) = (6/п) ∫ dx = (6/п) x + C3,

где C3 - произвольная постоянная.

2. Теперь найдем значение первообразной функции в точке x=П/3, используя полученные первообразные:

F(П/3) = (2 корень из 3) arctg(sin(П/3)) + C1 = (2 корень из 3) arctg(√3/2) + C1.

G(П/3) = -sin (3(П/3)) + C2 = -sin(П) + C2 = -sinП + C2.

H(П/3) = (6/п) (П/3) + C3 = 2 + C3.

Теперь необходимо найти значения постоянных C1, C2 и C3. Мы знаем, что график первообразной функции проходит через точку (0,2). Заменим x и y в уравнении первообразной функции на значения точки (0,2):

F(0) = (2 корень из 3) arctg(sin 0) + C1 = 0 + C1 = C1,

G(0) = -sin 0 + C2 = 0 + C2 = C2,

H(0) = 2 + C3 = 2 + C3.

Таким образом, C1 = 2, C2 = 2 и C3 = 0.

Подставим найденные значения постоянных обратно в найденные ранее значения первообразных функций:

F(П/3) = (2 корень из 3) arctg(√3/2) + 2,

G(П/3) = -sinП + 2,

H(П/3) = 2.

Таким образом, значение первообразной функции в точке x = П/3 равно:

F(П/3) = (2 корень из 3) arctg(√3/2) + 2,

G(П/3) = -sinП + 2,

H(П/3) = 2.