Объяснение:
1) Если количество домов N четное, то колодец можно поставить в любом месте между N/2 и (N/2 + 1) домом.
Например, если домов всего 2, то между 1 и 2 домами.
Обозначим S расстояние между домами.
Житель 1 дома пройдет до колодца расстояние x, а житель 2 дома расстояние S-x.
В сумме они пройдут x + S - x = S, то есть расстояние между домами.
Точно также, если домов 4, то колодец ставим между домами 2 и 3.
Тогда 1 и 4 жители вместе пройдут S, а 2 и 3 жители вместе пройдут s1 - расстояние между 2 и 3 домом.
Сумма равна S + s1.
Если же поставить колодец, например, между домами 1 и 2, то 2 житель пройдет расстояние y от 2 дома до колодца, а 3 житель (s1+y) - сначала s1 от 3 дома до 2, а потом ещё y до колодца.
В сумме получится
S + y + s1 + y = S + s1 + 2y > S + s1
Если же количество домов N нечетно, то ставить колодец надо во дворе среднего дома (N+1)/2.
Например, если домов 3, то ставим колодец около 2 дома.
Тогда для 1 и 3 жителя сумма расстояний будет по-прежнему S, а расстояние для 2 жителя будет 0.
Сумма всех расстояний равна S + 0 = S.
Точно также, для 5 домов колодец нужно ставить возле 3 дома, для 7 - возле 4, и т.д.
2) y = |x-a1| + |x-a2| + ... + |x-a(N)|
Это по сути та же задача.
y - сумма расстояний (модули - это расстояния между точками)
x - положение колодца
a1, a2, ... a(N) - положения домов.
И доказательство точно такое же.
Если N четно, то x может быть любым от a(N/2) до a((N+1)/2).
Если N нечетно, то x = a((N+1)/2)
Рисуночек:
Аs1Х__s2__Б
вел-> 2ч<-пеш
v1 v2
{40км}
t>
<(t-7,5)
X - место встречи через 2 часа (ближе к городу пешехода, так как велосипедист движется быстрее)
s1 и s2 - отрывки пути по обе стороны места встречи (их сумма 40 км)
v1 - cкорость велосипедиста
v2 - скорость пешехода
t - время велосипедиста (ушедшее на 40 км)
t+7,5 - время пешехода (тоже на 40 км)
*Раз велосипедист потратил на 7,5 часов меньше, то пешеход разумеется на 7,5 часов больше. Можно и пеш=t, вел=t-7,5 , но так неудобнее*
За 2 часа они проехали суммарно все 40 км. (один сколько-то с одной стороны(s1), второй сколько-то с другой стороны(s2), итого весь путь, раз встретились)
*(1)* Стало быть:
s1(вел) + s2(пеш) = 40
Длинна пути (s) выражается через формулу скорости (v): v = s/t => s = v*t
*(2)* Вот и выразим:
s1 = v1*t и s2 = v2*(t+7,5)
*(3)* Исходя из (1) и (2):
v1*t + v2*(t+7,5) = 40
Велосипедист проехал второй отрывок(s2) за t-2 часа (s1 он проехал за 2ч).
Пешеход свой второй отрывок(s1) за t+7,5-2 часов т.е за t+5,5 часов (s2 он за 2ч)
*(4)* Значит:
s1 = v1 * 2 = v2 * (t+5,5)
s2 = v2 * 2 = v1 * (t-2)
*(5)* Соответственно получаем систему уравнений:
{v1 * 2 = v2 * (t+5,5)
{v2 * 2 = v1 * (t-2)
*(6)* Выражаем соотношения скоростей:
v1 * 2 = v2 * (t+5,5) => v1/v2 = 2/(t-2)
v2 * 2 = v1 * (t-2) => v1/v2 = (t+5,5)/2
*(7)* Объеденяем:
2/(t-2) = (t+5,5)/2
*(8)* Умножаем на 2(t-2) и открываем скобки:
4 = (t+5,5)(t-2)
4 = t^2 - 2t + 5,5t - 11
t^2 + 3,5t - 15 = 0
*(9)* Решаем квадратное уравнение:
t = -(3,5/2) +- sqrt((3,5/2)^2 -(-15)) = -1,75 +- sqrt(3,0625+15) = -1,75 +- 4,25
t1 = 2,5
t2 = -6 (лишнее)
Выходит, что у велосипедиста ушло 2,5ч на 40 км.
*(10)* Тогда у пешехода 2,5 + 7,5 = 10ч
*(11)* Их скорости соответственно:
v1 = 40км/2.5ч = 16 км/ч
v2 = 40км/10ч = 4 км/ч
***Проверка согласно тексту:
За 2 часа велосипедист проезжает 2*16 = 32 км,
а пешеход проходит 2*4 = 8 км
Итого 32 + 8 = 40, стало быть они действительно встретились через 2 часа после отправления.
У пешехода ушло на всю дистанцию 10ч, а у велосипедиста 2,5ч, что действительно на 7,5ч меньше чем у пешехода.
***ответ: Скорость велосипедиста 16 км/ч, скорость пешехода 4 км/ч.
